5.2.2 导数的四则运算法则-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教A版）

5．2.2　导数的四则运算法则 由f(x)＝x可知f′(x)＝1，那么g(x)＝5x，g′(x)＝5吗？ 1．了解求导法则的证明过程． 2．掌握函数的和、差、积、商的求导法则． 3．能够运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)(g(x)≠0)．′＝ 特殊：[cf(x)]′＝cf′(x)． [独立思考] 1．[f(x)·g(x)]′与f′(x)·g′(x)相等吗？ 提示：[f(x)·g(x)]′≠f′(x)·g′(x)． 2.相等吗？′与 提示：.′≠ 3．按照？′吗′法则可求 提示：. ′＝ 　利用导数法则求导 [小组探究] (ex＋ln x)′＝？(x2＋′＝？)′＝？ [互动探究] 例1►　分别求下列函数的导数： (1)y＝exln x； (2)y＝x； (3)y＝sin. 【解】　(1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋.＝ex (2)因为y＝x3＋1＋.，所以y′＝3x2－ (3)因为y＝sincos x.sin x，所以y′＝＝－cos)＝－sin(1－2cos2 eq \a\vs4\al() 本题是基本初等函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数． [合作交流] 1．求下列函数的导数： (1)y＝(x2＋1)(x－1)； (2)y＝3x－lg x； (3)y＝. 解：(1)法一　y′＝(x2＋1)′(x－1)＋(x2＋1)(x－1)′ ＝2x(x－1)＋x2＋1＝3x2－2x＋1. 法二　∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1. ∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′＝3x2－2x＋1. (2)y′＝(3x－lg x)′＝(3x)′－(lg x)′＝3xln 3－. (3)y′＝′ ＝ ＝ ＝. 　求导数值 [小组探究] 若f(x)＝x3＋x2＋1，则f′(1)＝？ [互动探究] 例2►　(1)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝________． 【解析】　因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x， 所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋， 所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋， ＝3f′(2)＋ 所以f′(2)＝－. 【答案】　－ (2)若f(1)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，求f′(2)． 【解】　f(x)＝(x－1)[x(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]， ∴f′(x)＝(x－1)′·[x(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]＋(x－1)[x(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′， 即f′(x)＝x(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋(x－1)[x(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′， ∴f′(1)＝1×(－1)×(－2)×(－3)×(－4)＋0＝24. eq \a\vs4\al() 求导数值f′(x0)的方法： (1)若易求f′(x)，则先求f′(x)，再代入x0； (2)若不易求f′(x)，则结合法则，利用整体代入； (3)对于抽象函数，明确f′(x0)是常数，构建含有f′(x0)的方程求解． [合作交流] 2．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________． 解析：∵f′(x)＝2x＋2f′(1)， ∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2. ∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4. 答案：－4 3．在本例(2)中求f′(0)． 解：f′(x)＝x′[(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]＋x[(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′ ＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1)(x－2)·(x－3)(x－4)(x－5)]′， ∴f′(0)＝(－1)(－2)(－3)(－4)(－5)＋0＝－120. 　导数法则在初等函数中的应用 [小组探究] 抛物线y＝x2＋3x＋2在点(－1，0)处的切线怎么求？ [互动探究] 例3►　(1)已知曲线y＝，则切点的横坐标为(　　)－3ln x的一条切线的斜率为 A．3　　　 B．2　　　　 C．1　　　 D． 【解析】　设切点的横坐标为x0(x0>0)， ∵曲线y＝， －3ln x的一条切线的斜率为 ∴y′＝， ＝－，即－ 解得x＝3或x0＝－2(舍去