第3期 1.3相似三角形的性质1.4图形的位似（答案见第5期）-【数理报】2021-2022学年中考数学（青岛版）

书书书 相似三角形具有下列性质：相似三角形的对应角相 等，对应边成比例；相似三角形对应高的比、对应中线的 比、对应角平分线的比和周长的比等于相似比；相似三 角形面积的比等于相似比的平方．灵活运用上述性质， 可解决许多问题．下面举例说明． 一、求比值 例１　如果两个相似三角形的周长之比为１∶４，那 么它们的某一对对应角的角平分线之比为 ． 分析：根据相似三角形周长的比等于相似比求出相 似比，再根据对应角平分线的比等于相似比解答． 解：因为两个相似三角形的周长之比为１∶４， 所以它们的相似比是１∶４． 所以它们的某一对对应角的角平分线之比为１∶４． 故填１∶４． 二、求边长 例２　如图１，有一块锐 角三角形材料，边 ＢＣ ＝ １６ｃｍ，高ＡＤ＝８ｃｍ，要把它 加工成一块矩形零件，使其一 边在ＢＣ上，其余两个顶点Ｅ， Ｈ分别在ＡＢ，ＡＣ上，且ＦＧ＝ ６，则这个矩形零件的另一边长为 ｃｍ． 分析：设矩形零件的另一边长为ｘ，用ｘ表示出ＡＰ的 长度，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例 式，然后进行计算． 解：设这个矩形零件的另一边长为ｘｃｍ，则ＡＰ＝（８ －ｘ）ｃｍ． 因为ＥＦＧＨ是矩形，所以ＥＨ∥ＢＣ，ＥＨ＝ＦＧ． 所以△ＡＥＨ∽△ＡＢＣ，所以ＥＨＢＣ＝ ＡＰ ＡＤ． 即 ６ １６＝ ８－ｘ ８ ．解得ｘ＝５．故填５． 三、求面积 例 ３　 如图 ２，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，点Ｅ在边ＤＣ上，ＤＥ∶ＥＣ＝ ３∶１，连接ＡＥ交ＢＤ于点Ｆ，若△ＤＥＦ 的面积是 １８，则 △ＢＡＦ的面积是 ． 分析：先证明△ＤＦＥ∽ △ＢＦＡ，再根据相似三角形 的面积之比等于相似比的平方求解． 解：因为四边形ＡＢＣＤ为平行四边形， 所以ＤＣ∥ＡＢ．所以△ＤＦＥ∽△ＢＦＡ． 因为ＤＥ∶ＥＣ＝３∶１，所以ＤＥ∶ＤＣ＝３∶４． 所以ＤＥ∶ＡＢ＝３∶４．所以Ｓ△ＤＦＥ∶Ｓ△ＢＦＡ ＝９∶１６． 因为Ｓ△ＤＦＥ ＝１８，所以Ｓ△ＢＦＡ ＝３２． 故填３２． 书书书 一、求坐标 例１　如图１，在平面直 角坐标系中，正方形ＡＢＣＤ与 正方形ＢＥＦＧ是以原点 Ｏ为 位似中心的位似图形，且相 似比为 １ ３，点 Ａ，Ｂ，Ｅ在 ｘ轴 上，若正方形ＢＥＦＧ的边长为 ６，则Ｃ点的坐标为 （　　） Ａ．（３，２）　 Ｂ．（３，１） Ｃ．（２，２） Ｄ．（４，２） 分析：根据位似图形的 定义，先求出 ＯＢ的长度，即 可得出Ｃ点的坐标． 解：因为正方形ＡＢＣＤ与正方形ＢＥＦＧ是以原点Ｏ 为位似中心的位似图形，且相似比为 １ ３，所以 ＡＤ ＢＧ＝ １ ３． 因为ＢＧ＝６，所以ＡＤ＝ＢＣ＝２． 因为ＡＤ∥ＢＧ，所以△ＯＡＤ∽△ＯＢＧ． 所以 ＯＡ ＯＢ＝ １ ３．所以 ＯＡ ２＋ＯＡ＝ １ ３． 解得ＯＡ＝１，所以ＯＢ＝３． 所以Ｃ（３，２）．故选Ａ． 二、画位似图形 例２　在１４×１４的网格中，每个小正方形的边长 均为１，建立如图２所示的平面直角坐标系，按照要求 作图并解答相关问题． （１）将△ＡＢＣ绕原点Ｏ按顺时针方向旋转９０°，得 到△Ａ１Ｂ１Ｃ１； （２）以原点Ｏ为位似中心，作出与△Ａ１Ｂ１Ｃ１位似且相 似比为１∶２的△Ａ２Ｂ２Ｃ２，并写出点Ａ２的坐标． 分析：（１）利用旋转的性质画出对应点位置，进而 得出图形；（２）分△Ａ２Ｂ２Ｃ２在第一象限，第三象限两种 情况，分别作出图形． 解：（１）如图３，△Ａ１Ｂ１Ｃ１即为所求． （２）如图３，△Ａ２Ｂ２Ｃ２即为所求，点 Ａ２的坐标为 （２，２）或（－２，－２）． ! ! " # $ % ! " # $ %& ' ( ) * ! ! " ! " + ! ' # $ % & ' " ! & % (! (" (' (& (% ($ (# (#($(%(&('("(! ! " ' & % $ # " ! ' + ! ' # $ % & ' " ! & % (! (" (' (& (% ($ (# (#($(%(&('("(! ! " ' & % $ # & ! & " % ! % " ' ! ' " & " % " ' " 书书书 上期２版 １．２怎样判定三角形相似（第二课时） 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｂ；　３．４；　４．６． ５．证明：因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＢ ∥ＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ，所以∠Ｄ＋∠Ｃ＝１８０°．因为∠ＡＦＢ＋ ∠ＢＦＥ＝１８０°，且∠ＢＦＥ＝∠Ｃ．所以∠Ｄ＝∠ＡＦＢ．因 为ＡＢ∥ ＣＤ，所以 ∠ＢＡＥ＝∠ＡＥＤ，所以 △ＡＢＦ∽ △ＥＡＤ． 能力提高　６．ＡＣ的长为 槡５２． １．２怎样判定三角形相似（第三课时） 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．１５４； ４．△ＥＢＤ，两边对应成比例且夹角相等的两个三角 形相似；　５．２．５． ６．证明略． 能力提高　７．证明：因为∠Ｂ＝９０°，ＡＢ＝４，ＢＣ＝