第1期 1.1相似多边形1.2怎样判定三角形相似(第一课时)（答案见下期）-【数理报】2021-2022学年中考数学（青岛版）

书书书 一、理解相似多边形的判定 各边对应成比例，各角对应相等的两个多边形相似． 提示：根据相似多边形的判定可知两个多边形相似 必须同时具备两个条件： （１）各角对应相等； （２）各边对应成比例． 判定两个多边形相似，应从这两个条件出发进行判定． 例１　如图１，四边形ＡＢＣＤ与四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′相似 吗？请判断并说明理由． 解：不一定相似． 理由：观察已知图形可知，∠Ｃ＝１２０°，∠Ａ＝６０°， ∠Ｂ＝９０°，根据四边形内角和可知 ∠Ｄ＝９０°．由于 ∠Ａ′＝６０°，∠Ｂ′＝９０°，∠Ｃ′＝１２０°，可知∠Ｄ′＝９０°． 所以有 ∠Ａ＝∠Ａ′，∠Ｂ＝∠Ｂ′，∠Ｃ＝∠Ｃ′，∠Ｄ ＝ ∠Ｄ′．但从已知条件无法判断对应边是否成比例，所以 四边形ＡＢＣＤ与四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′不一定相似． 例２　如图２，矩形ＡＢＣＤ的长ＡＢ＝３０，宽ＢＣ＝２０． （１）如图２－①，若沿矩形ＡＢＣＤ四周有宽为１的环 形区域，图中所形成的两个矩形ＡＢＣＤ与Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′相似 吗？请说明理由； （２）如图２－②，当 ｘ为多少时，图中的两个矩形 ＡＢＣＤ与Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′相似？ 解：（１）不相似．理由如下： 因为ＡＢ＝３０，Ａ′Ｂ′＝２８，ＢＣ＝２０，Ｂ′Ｃ′＝１８， 所以 ２８ ３０≠ １８ ２０．所以不相似． （２）若矩形ＡＢＣＤ与Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′相似， 则 Ａ′Ｂ′ ＡＢ ＝ Ｂ′Ｃ′ ＢＣ，所以 ３０－２ｘ ３０ ＝ ２０－２ ２０ ， 解得ｘ＝１．５． 或 Ａ′Ｂ′ ＢＣ ＝ Ｂ′Ｃ′ ＡＢ，所以 ３０－２ｘ ２０ ＝ ２０－２ ３０ ， 解得ｘ＝９． 总结：根据相似多边形的定义可知，两个多边形相 似必须同时满足两个条件，这两个条件应同时具备，缺 一不可． 二、把握相似多边形的性质 相似多边形的对应边成比例，对应角相等． 提示：利用相似多边形的性质，可以根据多边形相 似求线段的比和角的度数等问题，在后面的学习中，还 会学习相似三角形的性质，利用其性质还可以解决其他 问题． 例３　若五边形ＡＢＣＤＥ∽五边形 Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１Ｅ１，且 五边形ＡＢＣＤＥ与五边形Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１Ｅ１的相似比为６，则五 边形Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１Ｅ１与五边形ＡＢＣＤＥ的相似比为 （　　） Ａ．６　　　　Ｂ．１６　　　　Ｃ．５　　　　Ｄ．１ 解析：根据相似比的定义可知 ＡＢ Ａ１Ｂ１ ＝６，所以 Ａ１Ｂ１ ＡＢ ＝ １６．故选Ｂ． 例４　如图３，四边形ＡＢＣＤ和四边形ＥＦＧＨ相似， 点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ和点 Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是对应顶点，求角 α，β 的大小和ＥＨ的长度． 解：因为四边形 ＡＢＣＤ和四边形 ＥＦＧＨ相似，点 Ａ， Ｂ，Ｃ，Ｄ和点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是对应顶点，所以∠α＝∠Ｃ ＝８３°，∠Ｆ＝∠Ｂ＝７８°．所以∠Ｈ＝３６０°－１１８°－７８° －８３°＝８１°．所以∠β＝∠Ｈ＝８１°．又因为ＥＨＡＤ＝ ＥＦ ＡＢ，所 以 ＥＨ ２１＝ ２４ １８．所以ＥＨ＝２８ｃｍ． 总结：根据相似多边形的性质计算角的度数和线段 的长度时，关键是确定对应关系． ! ! " " " " ! " # $ #! $! "! !! # $ #! $! ! " !! "! " " % % ! " 书书书 重点集训营 １．如图１，直线ａ∥ｂ∥ｃ，ＡＢ∶ＢＣ＝４∶７，ＤＥ＝３５， 求ＡＤ的长． ２．（２０２０威海文登区期中）如图２，已知ＤＥ∥ＢＣ， ＦＥ∥ＣＤ，ＡＦ＝３，ＡＤ＝５，ＡＥ＝４． （１）求ＣＥ的长； （２）求ＡＢ的长． ３．如图３，四边形ＡＢＣＤ∽四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′，ＡＤ＝ ８，ＡＢ＝６，ＡＤ⊥ＡＢ，Ａ′Ｄ′⊥Ａ′Ｂ′． （１）若∠Ｂ＝１２０°，∠Ｄ＝５０°，求∠Ｃ′的度数； （２）若Ａ′Ｂ′＝４，求Ａ′Ｄ′的长； （３）在（２）的条件下，若四边形ＡＢＣＤ的周长为３０， 且ＤＣ＝３ＢＣ，求四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的周长． ４．如图４，在△ＡＢＣ中，ＡＦ∶ＦＣ＝１∶２，Ｇ是ＢＦ的 中点，ＡＧ的延长线交ＢＣ于点Ｅ，则ＢＥ与ＥＣ的比值为多 少                                                 ？ 书书书 准确地找出两个相似三角形中的对应边和对应角 是学习三角形相似的前提． 相似三角形的对应边（或对应角），不像全等三角形 的对应边（或对应角）那么容易找，而要充分借助角（或 边）的关系来找．一般来说，两个相似三角形中，对应角 所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；反 过来，对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角 是对应角；一对最长（短）的边是对应边，一对最大（小） 的角是对应角． （１）如图１，一般来讲，△ＡＢＣ与△ＡＥＤ的公共角∠Ａ 一