第9期3.4.2相似三角形的性质3.5相似三角形的应用3.6位似（答案见第11期）-【数理报】2021-2022学年中考数学（湘教版）

书书书 解决相似三角形的有关问题时，常常需要把相似三 角形的判定和性质两者结合起来应用．现选取两例解析 如下，供同学们参考． 一、求边长 例１　（２０２０贵港）如图 １，在 △ＡＢＣ中，点Ｄ在ＡＢ边上，若 ＢＣ＝ ３，ＢＤ＝２，且 ∠ＢＣＤ＝∠Ａ，则线段 ＡＤ的长为 （　　） Ａ．２　　Ｂ．５２　　Ｃ．３　　Ｄ． ９ ２ 分析：根据“两角分别相等的两 个三角形相似”可判定△ＢＣＤ∽△ＢＡＣ，根据相似三角 形的对应边成比例可求得ＢＡ的长，然后根据ＡＤ＝ＢＡ－ ＢＤ，即可求解． 解：因为∠ＢＣＤ＝∠Ａ，∠Ｂ＝∠Ｂ， 所以△ＢＣＤ∽△ＢＡＣ，所以ＢＣＢＡ＝ ＢＤ ＢＣ． 因为ＢＣ＝３，ＢＤ＝２，所以 ３ＢＡ＝ ２ ３，解得ＢＡ＝ ９ ２， 所以ＡＤ＝ＢＡ－ＢＤ＝ ９２－２＝ ５ ２． 故选Ｂ． 评注：具体解题时，通常把相似三角形的判定与性 质有机地结合起来应用，可以使问题简捷明了． 二、求面积 例 ２　 （２０２０永州）如图 ２，在 △ＡＢＣ中，ＥＦ∥ＢＣ，ＡＥＥＢ＝ ２ ３，四边形 ＢＣＦＥ的面积为２１，则△ＡＢＣ的面积是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．９１３ Ｂ．２５ Ｃ．３５ Ｄ．６３ 分析：由ＥＦ∥ＢＣ可得出△ＡＥＦ∽△ＡＢＣ，利用相 似三角形的性质可得出Ｓ△ＡＥＦ ＝ ４ ２５Ｓ△ＡＢＣ，根据Ｓ四边形ＢＣＦＥ ＝２１，即可得出关于Ｓ△ＡＢＣ的一元一次方程，解之即可． 解：因为ＥＦ∥ＢＣ，所以△ＡＥＦ∽△ＡＢＣ， 所以 Ｓ△ＡＥＦ Ｓ△ＡＢＣ ＝（ＡＥＡＢ） ２ ＝（ ＡＥＡＥ＋ＥＢ） ２ ＝ ４２５， 所以Ｓ△ＡＥＦ ＝ ４ ２５Ｓ△ＡＢＣ． 因为Ｓ四边形ＢＣＦＥ ＝Ｓ△ＡＢＣ －Ｓ△ＡＥＦ ＝２１， 即 ２１ ２５Ｓ△ＡＢＣ ＝２１，解得Ｓ△ＡＢＣ ＝２５． 故选Ｂ． 评注：借助两直线平行可以直接得出相应的三角形 相似，再借助“相似三角形的面积比等于相似比的平方” 即可得出待求三角形的面积． 书书书 一、利用相似求运动时间 例１　如图１，△ＡＢＣ中，∠Ｃ ＝９０°，ＢＣ＝８ｃｍ，ＡＣ＝６ｃｍ，点 Ｐ从 Ｂ点出发，沿 ＢＣ方向以 ２ｃｍ／ｓ的速度移动，点Ｑ从Ｃ点出 发，沿ＣＡ方向以１ｃｍ／ｓ的速度移 动．若点 Ｐ，Ｑ同时分别从点 Ｂ，Ｃ 出发，经过多长时间△ＣＰＱ与△ＣＢＡ相似？ 解：设经过 ｔｓ，△ＡＢＣ和 △ＰＱＣ相似，则有 ＢＰ＝ ２ｔｃｍ，ＰＣ＝（８－２ｔ）ｃｍ，ＣＱ＝ｔｃｍ，分两种情况：①当 △ＡＢＣ∽△ＰＱＣ时，有ＢＣＱＣ＝ ＡＣ ＰＣ，即 ８ ｔ＝ ６ ８－２ｔ，解得ｔ ＝３２１１；②当 △ＡＢＣ∽ △ＱＰＣ时，有 ＡＣ ＱＣ＝ ＢＣ ＰＣ，即 ６ ｔ＝ ８ ８－２ｔ，解得ｔ＝ １２ ５．综上，当ｔ为 ３２ １１ｓ或 １２ ５ｓ时，△ＡＢＣ与 △ＰＱＣ相似． 二、利用相似求线段的长 例２　 如图２，在 △ＡＢＣ 中，ＡＢ＝８，ＢＣ＝１６，点 Ｐ是 ＡＢ边的中点，点Ｑ是ＢＣ边上 一个动点，当△ＢＰＱ与△ＢＡＣ相似时，求ＢＱ的长． 解：因为ＡＢ＝８，ＢＣ＝１６，点Ｐ是ＡＢ边的中点，所 以ＢＰ＝４．当△ＢＰＱ∽△ＢＡＣ时，则ＢＰＡＢ＝ ＢＱ ＢＣ，即 ４ ８ ＝ ＢＱ １６，解得ＢＱ＝８；当△ＢＰＱ∽△ＢＣＡ时，则 ＢＰ ＢＣ＝ ＢＱ ＡＢ，即 ４ １６＝ ＢＱ ８，解得ＢＱ＝２．综上，ＢＱ的长为２或８． 三、利用相似求函数关系式 例 ３　 如图 ３，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，点Ｐ 在ＢＣ边上运动，连接ＤＰ，过点 Ａ作ＡＥ⊥ＤＰ，垂足为Ｅ．设ＤＰ ＝ｙ，ＡＥ＝ｘ，求ｙ与ｘ之间的函 数关系式． 解：在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，所以ＤＣ＝ＡＢ ＝３，ＡＤ＝ＢＣ＝４，∠Ｃ＝９０°，ＡＤ∥ＢＣ，所以∠ＡＤＥ＝ ∠ＤＰＣ．因为ＡＥ⊥ＤＰ，所以∠ＡＥＤ＝９０°，所以∠ＡＥＤ ＝∠Ｃ，所以△ＡＤＥ∽△ＤＰＣ，所以ＡＤ∶ＤＰ＝ＡＥ∶ＤＣ． 因为ＤＰ＝ｙ，ＡＥ＝ｘ，ＡＤ＝４，ＤＣ＝３，所以４∶ｙ＝ｘ∶ ３，所以ｙ＝１２ｘ．所以ｙ与ｘ之间的函数关系式为ｙ＝ １２ ｘ． 书书书 三、１７．ｘ１＝ －３＋槡２１ ４ ， ｘ２＝ －３－槡２１ ４ ． １８．（１）ｋ＝３． （２）ｘ２１＋ｘ２２ ＝７． １９．（１）２０２０年底到 ２０２２年底，全省５Ｇ基站数 量的 年 平 均 增 长 率 为 ７０％． （２）１７．３４ × （１ ＋ ７０％）＝２９．４７８（万座）， 因为２９．４７８＞２５，所以到 ２０２３年底，全省５Ｇ基站数 量能超过２５万座． ２０．（１）ｍ＝－１２，经过 Ａ，Ｅ两点的一次函数的表 达式为ｙ＝－４３ｘ． （２）因为 ＡＤ＝３，ＤＥ ＝ ４， 所 以 ＡＥ ＝ ＡＤ２＋ＤＥ槡 ２ ＝５．因为 ＡＦ－ＡＥ＝２，所以ＡＦ＝７， ＢＦ＝１．设Ｅ点坐标为（ａ， ４），则 Ｆ点坐标为（