第三章 3.1.1 第1课时 函数的概念(一)（Word教师用书）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

3．1　函数的概念及其表示 3．1.1　函数的概念 课程标准 核心素养 在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域 1.会求函数的定义域或简单的值域(数学运算) 2．会判断函数是否是同一函数(数学运算) 3．能构建问题情境描述解析式中变量的关系(数学建模) 第1课时　函数的概念(一) [对应学生用书P47] 1．函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数． (1)A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的．例如，y＝就不是函数． (2)两个非空数集间的对应关系能否构成函数，主要看是否满足“三性”：任意性、存在性、唯一性．这是因为函数概念中明确要求对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)确定的数y与之对应．这三性只要有一个不满足便不能构成函数． 　某物体从高度为44.1 m的空中自由下落，物体下落的距离s(m)与所用时间t(s)的平方成正比，这个规律用数学式子可以描述为s＝gt2，其中g取9.8 m/s2. 请问表达式s＝gt2是函数关系吗？ 答案：是． 　(多选)下列图形中，能确定y是x的函数的是( ACD ) 2．函数的三要素 一个函数的构成要素为定义域、对应关系、值域．值域是由定义域和对应关系决定的． 在y＝f(x)中，x是自变量，f代表对应关系，不要因为函数的定义而认为自变量只能用x表示，用什么字母表示自变量都可以，关键是符合定义，x只是一个较为常用的符号，也可以用t，m等表示自变量． 如果函数y＝f(x)的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？ 答案：不确定．例如函数的定义域为A＝{－1，0，1}，值域为B＝{0，1}，则对应关系为f(x)＝x2或f(x)＝|x|均可． 判断正误． (1)根据函数的定义，定义域中的任意一个x可以对应着值域中不同的y.( × ) (2)任何两个集合之间都可以建立函数关系．( × ) (3)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．( × ) (4)在函数的定义中，集合B是函数的值域．( × ) [对应学生用书P48] 知识点一　函数关系的判断 (1)(多选)下列对应关系f是从集合A到集合B的函数的有(　ABD　) A．A＝{1，2，3}，B＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8 B．A＝Z，B＝{－1，1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1 C．A＝B＝{1，2，3}，f(x)＝2x－1 D．A＝B＝{x|x≥－1}，f(x)＝2x＋1 解析：对于选项A，B，集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此A，B中的对应关系f是从集合A到集合B的一个函数． 对于选项C，集合A中的值3在集合B中没有与之对应的值，因此对应关系f不是从集合A到集合B的一个函数． 对于选项D，对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，又当x≥－1时，2x＋1≥－1，所以对应关系f是从集合A到集合B的一个函数，可以表示为f(x)＝2x＋1，x≥－1.故选ABD． (2)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形： 其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的图形个数是(　B　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：对于图①，在集合{x|1<x≤2}内的元素没有函数值y与之对应，①不正确． 对于图②，集合M中任意一个元素，N中都有唯一的元素与之对应，②正确． 对于图③，集合M中，当x＝2时，y＝3∉N，③不正确． 对于图④，集合M中，当x＝1时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义，④不正确．故选B． 判断一个对应关系是否为函数的方法 根据图形判断对应关系是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l； (2)在定义域内平行移动直线l； (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． (1)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　B　) 解析：A中的定义域不是{x|－2≤x≤2}，C中图形不满足唯一性，D中的值域不是{y|0≤y≤2}．故选B． 　(2)已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|， 其中能构成从M到N的函数的是(　D　)