专题1.2 子集、全集、补集（重难点突破）-【课后辅导专用】2021年秋季高一数学上学期精品讲义（苏教版2019必修第一册）

专题1.2 子集、全集、补集 1、 考情分析 二、考点梳理 1．子集 （1）子集的概念 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中___________都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A含于B”（或“B包含A”）． 用Venn图表示AB如图所示： （2）子集的性质 ①任何一个集合是它自身的子集，即． ②传递性，对于集合，，，如果，且，那么． 2．真子集 （1）子集的概念 如果集合，但存在元素___________，我们称集合是集合的真子集，记作（或）． 如果集合是集合的真子集，在Venn图中，就把表示的区域画在表示的区域的内部．如图所示： （2）真子集的性质 对于集合，，，如果，，那么． 辨析：子集与真子集的区别：若，则或；若，则． 3、空集的概念 （1）．空集的概念 我们把___________任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集． （2）．空集的性质 （1）空集是任何集合的___________，即； （2）空集是任何非空集合的___________，即． 注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解． 【知识拓展】 1． 若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1. 2.奇数集：. 4、全集与补集 （1）．全集的概念 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念．学+科网 说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集看作全集． （2）．补集的概念 对于一个集合A，由全集U中___________集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即．用Venn图表示如图所示： 说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是 全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个 概念． （2） 若，则或，二者必居其一． （3）．全集与补集的性质 设全集为U，集合A是全集U的一个子集，根据补集的定义可得： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 3、 题型突破 重难点题型突破1 求集合的子集和真子集 （1）从集合关系的定义入手，对两个集合进行分析， 首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集； 其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B． （2）确定集合是用列举法还是描述法表示的，对于用列举法表示的集合，可以直接比较它们的元素； 对于用描述法表示的集合，可以对元素性质的表达式进行比较，若表达式不统一，要先将表达式统一，然后再进行判断．也可以利用数轴或Venn图进行快速判断． 例1．（1）、（2020·贵州省铜仁第一中学高一期中）已知集合，3，，，，若，则实数__. 【答案】1或3 【分析】 利用子集关系可知，或，求出再验证即得结果. 【详解】 解：，，或， 解得，或或， 将的值代入集合、验证，知不符合集合的互异性， 故或3. 故答案为：1或3 （2）．（2021·浙江高一期末）已知集合，则的子集有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】 根据集合子集的个数计算公式求解. 【详解】 因为集合共有个元素，所以子集个数为个. 故选：D. 【变式训练1-1】．（2021·上海高一专题练习）集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则实数a的值为（　　） A．1 B．-1 C．±1 D．0或±1 【答案】D 【分析】 对进行分类讨论，结合求得的值. 【详解】 A={x|x2=1}={1，-1}.当a=0时，，满足B⊆A；当a≠0时，B=，因为B⊆A，所以=1或=-1，即a=±1. 综上所述，a=0或a=±1. 故选：D 【变式训练1-2】．（2021·上海高一专题练习）已知集合，则=（ ） A．或 B．或3 C．1或 D．1或3 【答案】B 【分析】 利用集合的包含关系可得或，求出，再根据集合的互异性即可求解. 【详解】 因为集合，，且，所以或， 若，则，满足； 若，则或， 当时，，满足； 当时，集合A中元素不满足互异性，舍去， 故选：B. 例2．（2021·上海高一专题练习）设集合M＝{x|x＝4n＋1，n∈Z}，N＝