第三章 函数的概念与性质 专题3、解抽象函数不等式-2021-2022学年“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第一册）

第3章 函数的概念与性质 专题3 解抽象函数不等式 解抽象不等式要灵活运用函数的单调性、奇偶性等函数的性质，尤其要注意函数的的定义域对未知数的限制。能画函数图象的可画函数的草图，结合函数图象解决问题。 从近几年高考命题看，考查考查力度与以往基本相同，与之相关的题目，难度不大． 【题型导图】 类型一 求定义域为R的抽象不等式 例1：（2021·全国高一课前预习）已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)，求实数x的取值范围为________． 【答案】(－∞，－3) 【详解】 解析：∵f(x)是R上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)， ∴2x－3>5x＋6，即x<－3． 故答案为： . 【变式1】（2021·全国高一课时练习）设 是定义在R上的增函数，A(0，-1)，B(3，1)是其图象上的两点，则不等式 的解集为__________ 【答案】(-1，2) 【详解】 ， 根据函数是 上的增函数，并且过点A(0，-1)，B(3，1)， 可知 ，解得： ， 所以不等式的解集是 . 故答案为： 【变式2】（2021·全国）函数 满足：对任意的 总有 ．则不等式 的解集为________． 【答案】 【详解】 因为对任意的 总有 所以函数 是 上的单调增函数， 从而由 得 ，解得 ． 故答案为： 【变式3】已知f(x)为R上的减函数，则满足 的实数x的取值范围为________. 【答案】(－∞，0)∪(1，＋∞) 【详解】 ∵f(x)为R上的减函数，且 ∴ ，解得： 或 ， 即实数x的取值范围为(－∞，0)∪(1，＋∞). 故答案为：(－∞，0)∪(1，＋∞) 【痛点直击】解题的一般策略是：利用函数的单调性，将函数值的的大小关系转化为自变量的关系，解不等式即可． 类型二 给定区间的抽象不等式 例2.（2021·广东）已知 是定义在 上的单调递减函数，且 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据函数自变量的定义域以及函数单调递减列式，求出a的取值范围. 【详解】 ∵ 是定义在 上的单调递减函数，且 ， 则 ，解得 故选：D.. 【变式1】（2021·全国高一专题练习）已知函数 的定义域为 ，则不等式 的解集为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为 ，可知 在 上单调递减， 所以不等式 成立，即 . 故选：C. 【变式2】设 ，已知函数 是定义在 上的减函数，且 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据函数定义域及其单调性列不等式，求 的范围即可. 【详解】 ∵函数 是定义在 上的减函数，且 ， ∴ ，解得 ， 故选：C． 【变式3】已知函数 对 ，都有 ，且 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先分析出 的单调性，然后根据单调性将函数值关系转化为自变量间的关系，同时注意定义域，由此可求 的取值范围. 【详解】 因为对 ，都有 ， 所以 在 上单调递减， 因为 ， 所以 ，解得 ， 故选：C. 【痛点直击】解题的一般策略是：利用函数的单调性，将函数值的的大小关系转化为自变量的关系，注意括号内的式子在定义域范围内，解不等式即可． 类型三 奇偶性单调性结合解抽象不等式 例3.（2021·全国高一专题练习）若定义在 的奇函数 在 单调递减，且 ，则满足 的 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意，做出草图，再分 ， ， 三种情况讨论求解即可. 【详解】 根据题意，画出函数示意图： 当 时， ，即 ； 当 时， ，即 ； 当 时，显然成立， 综上 . 故选：D 【变式1】（2021·全国高一专题练习）已知偶函数 在区间 上单调递减，则满足 的实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为偶函数 在区间 上单调递减，且满足 ， 所以不等式等价为 ，即： ， 所以 ，解得： ， 故 的取值范围是 . 故选：A 【变式2】定义在R上的奇函数 在 是减函数，且 ，则满足 的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 因为函数 在R上的奇函数，且 ， 所以 ， 又因为 在 是减函数， 所以 在R上是减函数， 因为 ， 所以 ， 则 ， 解得 ， 故选：D 【变式3】（2021·浙江）若 为偶函数，且在区间 上单调递减，则满足 的实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 因为 为偶函数， ， 则 可化为 ， 而偶函数 在区间 上单调递减， 得 在区间 上单调递增， 所以原不等式可化