必考点10双曲线-【对点变式题】2021-2022学年高二数学期中期末必考题精准练（苏教版2019选择性必修第一册）

必考点10 双曲线 题型一 双曲线的标准方程 例题1（1）已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的标准方程为(　　) A. 　　　　　　　 B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意得＝，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标准方程. （2）与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线标准方程是(　　) A. －y2＝1 B. －y2＝1 C. －＝1 D．x2－＝1 【答案】B 【解析】法一：椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)． 设双曲线标准方程为 (a＞0，b＞0)， 因为双曲线过点P(2,1)， 所以，又a2＋b2＝3， 解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线标准方程是－y2＝1. 法二：设所求双曲线标准方程为 (1＜λ＜4)， 将点P(2,1)的坐标代入可得， 解得λ＝2(λ＝－2舍去)， 所以所求双曲线标准方程为－y2＝1. 【解题技巧提炼】 (1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为＝λ(λ≠0)． (2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值． 求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解． 题型二 双曲线的定义及其应用 例题1(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________． (2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________. (3)已知F是双曲线的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________． 【答案】(1)x2－＝1(x≤－1)　(2)　(3)9 【解析】(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|. 因为|MA|＝|MB|， 所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2＜6. 这表明动点M到两定点C2，C1的距离的差是常数2且小于|C1C2|. 根据双曲线的定义知，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大，到C1的距离小)，且a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，则其轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)． (2)∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a＝2， |PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2， 则cos∠F1PF2 ＝ ＝. (3)因为F是双曲线的左焦点，所以F(－4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲线的定可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋＝4＋5＝9. 【解题技巧提炼】 双曲线定义的应用策略 (1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线． (2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题． (3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a＜|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置． 题型三 求双曲线离心率 例题1(1)已知点F是双曲线 (a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　) A．(1，＋∞)　　　　　　 B．(1,2) C．(2,1＋) D．(1,1＋) (2)设双曲线C： (a＞0，b＞0)的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，O为原点，|OP|＝|OF|，则双曲线C的离心率为(　　) A．5 B. C. D. 【答案】(1)B　(2)A 【解析】(1)若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝ ，|FE|＝a＋c，则＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2，故选B. (2)根据直线4x－3y＋20＝0与x轴的交点F为(－5,0)，可知半焦距c＝5， 设双曲线C的右焦点为F2，连接PF2，根据|OF2|＝|OF|且|OP|＝|OF|可得，△PFF2为直角三角形， 如图，过点O作OA垂直于直线4x－3y＋20＝0，垂足为A，则易知OA为△PFF2的中位线， 又原点O到直线4x－3y＋20＝0的距