第3练 确定圆的条件(拔尖练习)-【多维练】2021-2022学年九年级数学上学期多维课时提优＋阶段提优(苏科版)

第3练 确定圆的条件(拔尖练习) 1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，将劣弧沿AC折叠后刚好经过弦BC的中点D．若AC＝6，∠C＝60°，则⊙O的半径长为（　　） A． B． C． D． 【分析】取折叠后的弧所在圆圆心为O′，则⊙O与⊙O′设等圆，∠ACD是公共的圆周角，所以可以证得AB＝AD，过A作AM⊥BC于M，则M为BD的中点，在Rt△AMC中，利用勾股定理，可以求出AM和CM的长度，由于D是BC中点，可以证明MC＝3BM，所以BM可以求，在直角三角形ABM中，利用勾股定理求出AB的长度，连接OA，OB，由于△AOB是顶角为120°的等腰三角形，过O作OG⊥AB于G，利用30度的特殊角和勾股定理，可以证明AB＝3OA，由此圆O半径可求． 【解答】解：如图1，设折叠后的所在圆的圆心为O′，连接O′A，O′D， ∴∠AO′D＝2∠ACB＝120°， 连接OA，OB， 同理，∠AOB＝120°， ∴∠AOB＝∠AO′D， ∵⊙O与⊙O′是等圆， ∴AB＝AD， 设⊙O的半径为R， 过O作OG⊥AB于G， ∵OA＝OB，∠AOB＝120°， ∴∠OAB＝∠OBA＝30°，AB＝2AG， ∴OG＝， ∴， ∴， 如图2，过A作AM⊥BC于M， ∵AB＝AD， ∴可设BM＝DM＝x，则BD＝2x， ∵D为BC的中点， ∴CD＝BD＝2x， ∴MC＝DM+CD＝3x， ∵AM⊥BC，∠ACB＝60°， ∴∠MAC＝30°， 在Rt△AMC中，MC＝， ∴3x＝3， ∴x＝1， ∴AM＝，BM＝x＝1， 在Rt△ABM中，AB＝， ∵， ∴， 故选：D． 2．（2021•安徽二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为（　　） A．2﹣2 B． C．4 D．2 【分析】如图，在BE是上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，连接OD，过点O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J．证明点P的运动轨迹是以O为圆心，OE为半径的⊙O，推出当点P落在线段OD上时，DP的值最小，想办法求出OD，OP，可得结论． 【解答】解：如图，在BE是上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，连接OD，过点O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J． ∵∠BPE＝∠EOB， ∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OE为半径的⊙O， ∴当点P落在线段OD上时，DP的值最小， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∵AB＝3，AE：EB＝1：2， ∴BE＝2， ∵OE＝OB，∠EOB＝120°，OQ⊥EB， ∴EQ＝BQ＝，∠EOQ＝∠BOQ＝60°， ∴OQ＝1，OE＝2， ∵OJ⊥AD，OQ⊥AB， ∴∠A＝∠AJO＝∠AQO＝90°， ∴四边形AQOJ是矩形， ∴AJ＝OQ＝1， JO＝AQ＝2， ∵AD＝5， ∴DJ＝AD﹣AJ＝4， ∴OD＝＝＝2， ∴PD的最小值＝OD﹣OP＝2﹣2， 故选：A． 3．已知等腰锐角△ABC内接于半径为5的⊙O，且圆心O到BC的距离为3． （1）若BC为底边，则这个等腰△ABC底边上的高为 　8　． （2）若BC为腰，则这个等腰△ABC底边上的高为 　　． 【分析】（1）当BC是底，△ABC是锐角三角形时，如图1，连接AO并延长交BC于点D，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，于是得到结论； （2）当BC是腰时，连接OC，BO并延长到AC于E，作OD⊥BC于点D，根据勾股定理得到BD＝＝＝4，求得BC＝2BD＝8，再根据勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）当BC是底，△ABC是锐角三角形时，如图1， 连接AO并延长交BC于点D， ∵AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∵OA＝5，OD＝3， ∴AD＝5+3＝8， 即这个等腰△ABC底边上的高为8， 故答案为：8； （2）当BC是腰时，连接OC，BO并延长到AC于E，作OD⊥BC于点D， 在Rt△BOD中，OB＝5，OD＝3， ∴BD＝＝＝4， ∴BC＝2BD＝8， 设OE＝x，在Rt△COE中，CE2＝OC2﹣OE2＝52﹣x2， 在Rt△BCE中，CE2＝BC2﹣BE2＝82﹣（5+x）2， ∴52﹣x2＝82﹣（5+x）2， 解得x＝， ∴CE＝＝， ∴BE＝5+＝． ∴这个等腰△ABC底边上的高为； 故答案为：． 4．（2021•临海市一模）如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝8，∠ACB＝60°，且BC＞AC，点D是△ABC高线的交点，连接AD，BD，CD，则∠ADB的度数为　120°　，CD的长为　　． 【分析】连结AO，并延长交⊙O于E，连结EC，延长BD交AC于F，由AE为直径，可得∠ACE＝∠ABE＝90°，由点D是△ABC高线的交点，可得BF⊥