专题08 椭圆及其方程（课时训练）-【课后辅导专用】2021年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题08 椭圆及其方程 A组 基础巩固 1．（2021·江苏扬州市·扬州中学高二月考）椭圆的焦点坐标为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】 由题方程化为椭圆的标准方程求出c，则椭圆的焦点坐标可求． 【详解】 由题得方程可化为， 所以 所以焦点为 故选：A. 2．（2021·全国高二课时练习）过椭圆的焦点的弦中最短弦长是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由过椭圆焦点的最短弦所在直线不垂直y轴，设出其方程并与椭圆方程联立求出直线被椭圆所截弦长即可推理作答. 【详解】 显然过椭圆焦点的最短弦所在直线l不垂直y轴，设l的方程为：x=my+c， 由消去x并整理得：， 设直线l与椭圆交于点，则有， 则有 ，当且仅当时取“=”， 于是，当，即直线l垂直于x轴时，， 所以过椭圆的焦点的最短弦是与焦点所在坐标轴垂直的弦，最短弦长是. 故选：A 3．（2021·全国高二单元测试）已知椭圆过点和，则椭圆离心率（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用待定系数法求得，由此求得，进而求得椭圆离心率. 【详解】 椭圆过点和， 则，解得，， ， ， ， 故选：． 4．（2021·四川省新津中学高二月考（文））椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 联立椭圆方程与直线方程，化简写出根与系数关系，求得中点的坐标，利用过原点与线段中点的直线的斜率列方程，化简求得的值. 【详解】 联立椭圆方程与直线方程， 得，， ，， ，， 中点坐标：， 中点与原点连线的斜率． 故选：A 5．（2020·四川成都市·石室中学高二期中（文））若椭圆的一个焦点为，则的值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】 根据焦点坐标可确定焦点的位置，进而可求出. 【详解】 椭圆的一个焦点为， 可得，解得. 故选：A. 6．（2021·全国高二课时练习）如图所示，椭圆的离心率，左焦点为，，，分别为左顶点、上顶点和下顶点，直线与交于点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由离心率确定a，b，c的关系，由此可求直线CF，直线AB的斜率，再利用两角和的正切公式求. 【详解】 ，，． 由题图可知，， ，， ． 故选：A． 7．（2021·全国）设椭圆＝1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由正弦定理把用表示，也用表示，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由余弦定理结合椭圆定义可得．然后把面积用两种方法表示，得出的关系式，求得离心率． 【详解】 解：椭圆的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），|F1F2|＝2c， 根据正弦定理可得2R＝＝＝， ∴R＝，r＝R＝． 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m+n＝2a， 由余弦定理得，4c2＝m2+n2﹣2mncos＝(m+n)2﹣3mn＝4a2﹣3mn， ∴mn＝， ∴＝mnsin＝， 又＝(m+n+2c)•r＝， ∴＝，即2a2﹣3c2﹣ac＝0，故3e2+e﹣2＝0， 解得：e＝或e＝﹣1（舍）． 故选：B． 8．（2021·全国）已知直线，若椭圆上的点到直线的距离的最大值与最小值之和为，则唨圆的离心率范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，由求出的范围，设椭圆上任意一点P（acosθ，sinθ），然后利用点到直线的距离公式求出点P到直线的距离，利用三角函数的性质可求得的最值， 从而可得当直线与椭圆相切或相离时满足题意，再由可求出离心率的范围 【详解】 解：联立可得（1+a2）x2+4a2x+3a2=0， 因为直线l与椭圆C相离或相切，所以=16a4﹣12a2（1+a2）≤0， ∴1<a2≤3， 设椭圆上任意一点P（acosθ，sinθ），则点到直线l的距离 ，其中， d的最小值､最大值分别为：，， 满足最大值与最小值之和为， ∴1<a2≤3， . 故选：A. 9．（2021·浙江高二学业考试）如图，椭圆的左焦点为F，点P在y轴上，线段交椭圆于点Q．若，，则椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由可得点的横坐标为，再由可求出得点的纵坐标的绝对值为，然后将点的坐标代入椭圆方程中化简可求出椭圆的离心率 【详解】 解：由题意得，设， 因为，所以，得， 因为，所以， 所以， 因为在椭圆上， 所以， 化简得，， 因为，所以， ，得， 解得或（舍去） 故选：D 10．（2020·