专题07 曲线与方程（重难点突破）解析版-【课后辅导专用】2021年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题07 曲线与方程 一、考情分析 二、考点梳理 1.动点轨迹问题解题策略一般有以下几种： （1） 直译法：一般步骤为： ①建系,建立适当的坐标系； ②设点,设轨迹上的任一点P(x，y)； ③列式,列出动点P所满足的关系式； ④代换,依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简； ⑤证明,证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. (2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； (3)代入法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程； (4)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程． 2.解轨迹问题注意： （1）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等. （2）要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点. 三、题型突破 【一】定义法求曲线的轨迹方程 定义法： 如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 例1、 已知中，、、的对边分别为、、，若依次构成等差数列，且，，求顶点的轨迹方程.C B y x O A 【解析】：如右图，以直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系. 由题意，构成等差数列，（两定点的距离等于定长—椭圆），即，又，的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，，，故的轨迹方程为 例2、已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线 【解析】、 建立坐标系如图所示，设|AB|=2a,则A(－a,0）,B(a,0) 设M(x,y）是轨迹上任意一点 则由题设，得=λ,坐标代入，得=λ,化简得 (1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0 (1)当λ=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴) (2)当λ≠1时，点M的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0 点M的轨迹是以(－，0）为圆心，为半径的圆 例3、【2016高考新课标1卷】设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E. （I）证明为定值,并写出点E的轨迹方程； （II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围. 则,. 所以. 过点且与垂直的直线：,到的距离为,所以 .故四边形的面积 . 可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为. 当与轴垂直时,其方程为,,,四边形的面积为12. 综上,四边形面积的取值范围为. 【二】直接法求曲线的轨迹方程 直接法： 如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 例4、已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：，动点M到圆C的切线长与的比等于常数（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 【解析】、设M（x，y），直线MN切圆C于N，则有，即，．整理得，这就是动点M的轨迹方程． 若，方程化为，它表示过点和x轴垂直的一条直线； 若λ≠1，方程化为， 它表示以为圆心，为半径的圆． 例5、【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。 (1) 求点P的轨迹方程； (2)设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。 因此点P的轨迹方程为。 （2）由题意知。设,则 ， 。 由得，又由（1）知，故 。 所以，即。又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F。 【三】参数法求曲线的轨迹方程 参数法： 如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t）， y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。 例6、过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程. 【解析】、设，直线的斜率为，则直线的斜率为.直线OA的方