专题07 曲线与方程（课时训练）-【课后辅导专用】2021年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题07 曲线与方程 A组 基础巩固 1．（2021·全国高三月考）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据题意得出的轨迹为椭圆，且方程为.设出点的坐标，利用向量数量积的定义求出，结合椭圆中的取值范围即可求出的最大值. 【详解】 易知的轨迹为椭圆，其方程为，设，则， 因为，所以，即， . 故选：. 2．（2021·全国高二课时练习）已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，，，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 设点，根据两点坐标求距离公式化简计算，结合点与点不重合且、、A不共线即可得出结果. 【详解】 设点， 由，得， 即. 又点与点不重合且，，不共线， 所以，. 故选：B. 3．（2022·全国高三专题练习）平面上到两定点，距离之和为5的点的轨迹是（ ） A．直线 B．线段 C．圆 D．椭圆 【答案】B 【分析】 根据题意，由定点和的坐标可得的长，结合椭圆的定义分析可得动点的轨迹为线段，即可得答案． 【详解】 根据题意，两定点，则， 而动点到两定点和的距离之和为5， 则动点的轨迹为线段， 故选：B． 4．（2020·玉林市育才中学高二月考（理））方程所表示的曲线是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．一个点 【答案】D 【分析】 对配方后可得结论 【详解】 解：方程， 即为， 可得且， 即点， 故选：D. 5．（2021·全国高二课时练习）在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，动点M满足以MA为直径的圆与y轴相切，已知B(2，1)，则|MA|+|MB|的最小值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】 求出点M的轨迹方程，再利用求得的轨迹的几何意义求解而得. 【详解】 设M(x，y)，以MA为直径的圆的圆心为， 又由动点M满足以MA为直径的圆与y轴相切，则有， 整理得：y2＝4x， 则M的轨迹是抛物线，其焦点为A(1，0)，准线l为x＝-1， 如图，过M作MD⊥l于D，|MA|=|MD|， |MA|+|MB|=|MD|+|MB|≥|BD|，当且仅当B、M、D三点共线时取“=”， |MA|+|MB|取得最小值为|BD|＝2-(-1)＝3． 故选：C 【点睛】 抛物线上动点到其焦点及另一定点距离的和最小问题，可以借助抛物线定义转化求解. 6．（2021·全国高二专题练习）方程y＝表示的曲线是（ ） A．一个圆 B．两条射线 C．半个圆 D．一条射线 【答案】C 【分析】 把方程两边平方，注意变量的取值范围，可得选项． 【详解】 由得，即，∴曲线表示圆x2＋y2＝36在x轴上方的半圆． 故选：C. 【点睛】 易错点睛：把方程变形化为圆的标准方程（或直线的一般方程），但在变化过程中要注意变量取值范围的变化，如本题有，因此曲线只能是半圆，对直线可能是射线也可能线段，这与变量取值范围有关． 7．（2021·全国高三专题练习）如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足．平面上的动点满足，则点的轨迹为（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】B 【分析】 首先建立空间直角坐标系，设，则点的轨迹是椭圆． 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系， 设 所以点的轨迹是椭圆． 故选：B. 【点晴】 方法点睛：本题考查空间向量、轨迹及其方程，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查空间想象能力逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 8．（2021·广东珠海·高二期末）方程表示的曲线是（ ） A．一个圆 B．一个椭圆 C．两个圆 D．半圆 【答案】D 【分析】 原方程两边平方，等价于，从而可得出结论． 【详解】 方程等价于， 表示的曲线是半个圆． 故选：D． 9．（2021·山西阳泉·高二期末（理））已知动点满足，则动点的轨迹是（ ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆 【答案】C 【分析】 根据两点之间的距离公式的几何意义即可判定出动点轨迹. 【详解】 由题意可知表示动点到点和点的距离之和等于，又因为点和点的距离等于，所以动点的轨迹为线段. 故选： 10．（2021·上海）关于曲线，给出下列四个命题： ①曲线关于轴对称；②曲线关于直线对称； ③点（）可能在曲线上；④曲线围成的面积小于； 上述命题中，真命题的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】 对①，根据关于轴对称的性质即可求解；对②，根据关于对称的性质即可求解；对③，将点代入，若方程有解，则可能，若方程无解，则不可能；对④，先设出曲线上一点，通过计算得到点在圆外，即可判断. 【详解】 解：对①，将方程中的换