第三章 函数的概念与性质 专题2 含绝对值的函数单调性的判断-2021-2022学年“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第一册）

第3章 函数的概念与性质 专题2 含绝对值的函数单调性的判断 含绝对值函数的单调性问题，可讨论去掉绝对值号，转化为分段函数，利用分段函数的单调性考虑问题。 从近几年高考命题看，考查考查力度与以往基本相同，与之相关的题目，难度不大． 【题型导图】 类型一 含绝对值的函数的单调性 例1：（2021·全国高一课时练习）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ） A．增区间是 B．减区间是 C．增区间是 D．增区间是 【答案】D 【分析】 根据题意，将 写成分段函数的形式，结合二次函数的性质分段讨论 的单调性和单调区间，综合可得答案． 【详解】 根据题意，函数 ， 当 时， ，在区间 上为减函数，在区间 上为增函数； 当 时， ，在区间 上为增函数，在区间 上为减函数； 综合可得： 在区间 和 上为减函数，在区间 上为增函数， 故选：D. 【变式1】函数f（x）=x|x-2|的递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 当x≥2时，f（x）=x（x-2）=x2-2x，对称轴为x=1，此时f（x）为增函数， 当x＜2时，f（x）=-x（x-2）=-x2+2x，对称轴为x=-1，抛物线开口向下，当1＜x＜2时，f（x）为减函数， 即函数f（x）的单调递减区间为（1，2）， 故选C． 【变式2】函数 在区间 上是增函数，则区间 是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先去绝对值，化简解析式 ，再作出函数的示意图，得到函数的增区间. 【详解】 作出函数的草图如图所示． 由图易知原函数在 上单调递增． 故选：B． 【变式3】函数 的单调递增区间是（ ） A． B． 和 C． 和 D． 和 【答案】B 【详解】 如图所示： 函数的单调递增区间是 和 ． 故选：B. 【痛点直击】绝对值函数通过分段讨论去绝对值，一般可化简成分段函数，再根据分段函数求单调区间. 类型二 含绝对值的函数的单调性求参数 例2.若函数f(x)＝|3x+a|的单调递减区间是(﹣∞，3]，则a的值为（ ） A．9 B．3 C．﹣9 D．﹣3 【答案】C 【分析】 根据绝对值的定义去掉绝对值符号后判断求解． 【详解】 ，∴ 在 上是增函数，在 上是减函数， 由题意 ， ． 故选：C． 【变式1】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为 ，所以 ，即 ， 故选：A. 【变式2】（2021·全国高一专题练习）已知函数 在区间 和 上均单调递增，则实数 的取值范围是________． 【答案】 【详解】 设 ，其判别式 ，所以函数 一定有两个零点， 设函数 的两个零点为 ，且 ， 由 得 ， ， 所以函数 EMBED Equation.DSMT4 ， ①当 时， 在 上单调递减或为常函数，从而 在 不可能单调递增，故 ， ②当 时， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，所以 ， 所以 ， 因为 在 上单调递增，所以 在 上也单调递增， 因为 在 和 上都单调递增，且函数的图象是连续的，所以 在 上单调递增， 欲使 在 上单调递增，只需 ，得 ， 综上所述：实数 的取值范围是 . 故答案为： 【变式3】若函数 在 时取得最小值，则实数 的取值范围是______； 【答案】 【详解】 当 时， ， 当 时， ， 且 ， 当 时， ， 且 ， 当 时， ， 且 ， 若函数 在 时取得最小值， 根据一次函数的单调性和函数值可得 ，解得 ， 故实数 的取值范围为 故答案为： 【痛点直击】由含绝对值的函数的单调性求参数问题，可将含绝对值的函数取绝对值号转变为分段函数。根据分段函数单调性求解参数范围的步骤： （1）先分析每一段函数的单调性并确定出参数的初步范围； （2）根据单调性确定出分段点处函数值的大小关系； （3）结合（1）（2）求解出参数的最终范围. 【限时训练】 1．若函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为 ，所以 ， 当 在 上单调递增时， ，所以 ， 当 在 上单调递增时， ，所以 ， 且 ，所以 ， 故选：A. 2．（2021·全国高一课时练习）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ，要使 在 上单调递增， 则： ， 解得 ， ∴实数 的取值范围是 ， 故选：A. 3．（2021·上海上外浦东附中）若函数 是区间 上的严格增函数，则实数a的取值范围是____． 【答案】 【详解】 ，要使函数 在 单调递增，则 在 单调递增，且 在 单