3.3 抛物线-2021-2022学年高二数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（人教A版2019选择性必修第一册）

第3章 圆锥曲线的方程 3.3 抛物线 学习导航 1、 掌握直线与抛物线的位置关系。 2、 掌握与直线、抛物线有关的弦长问题。 3、 了解与抛物线有关的应用问题。 教学过程 一、抛物线及其标准方程 1、抛物线的定义： （1）定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹． （2）焦点：定点F. （3）准线：定直线l. 2、抛物线的标准方程： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 例题1 1．准线为的抛物线标准方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据抛物线标准方程及准线方程的定义可得. 【详解】 因为抛物线准线为，即，所以，故抛物线方程为: 故选:A 二、抛物线的简单几何性质 1、抛物线的简单几何性质： 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝1 通径长 2p 2、直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组 解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数． 当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点． 当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点． 例题2 2．下列图形中，可能是方程和（且）图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据椭圆和双曲线得出的正负，再判断抛物线开口方向可得. 【详解】 方程化为标准方程为，则抛物线的焦点在轴上，故B错误； 对A，方程表示椭圆，则，则，抛物线方程应开口向左，故A错误； 对C，方程表示焦点在轴上的双曲线，则，则，则抛物线方程应开口向右，故C错误； 对D，方程表示焦点在轴上的双曲线，则，则，则抛物线方程应开口向右，故D正确. 故选：D. 3、 抛物线的方程及性质的应用 1、 和抛物线有关的轨迹方程： 根据定义，可以直接判定一个动点的轨迹是抛物线，求动点的轨迹方程． 2、直线和抛物线： （1）抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p. （2）抛物线的焦点弦 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①y1y2＝－p2，x1x2＝； ②＝x1＋x2＋p； ③＋＝. 例题3 3．在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是，圆的半径为，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点，则圆的半径的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设圆心为，（），半径为，是抛物线上任一点，求出，当的最小值在原点处取得时，圆过原点，可得此时圆半径的范围，半径不在这个范围内的圆不过原点． 【详解】 设圆心为，（），半径为，是抛物线上任一点， ， 若的最小值不在处取得，则圆不过原点， 所以，即，此时圆半径为． 因此当时，圆无法触及抛物线的顶点． 故选：A． 课时训练 1．在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 试题分析：设直线因为，表示点到直线的距离，所以圆心的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，圆的半径最小值为，圆面积的最小值为．故本题的正确选项为A. 2．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则的值为 A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】 根据过抛物线焦点的弦长公式，利用题目所给已知条件，求得弦长. 【详解】 根据过抛物线焦点的弦长公式有.故选B. 3．动圆M与定圆相外切，且与直线相切，则动圆的圆心满足的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 设M点坐标为（x，y），C（﹣2，0），动圆的半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，MC=2+r，d=r，从而|MC|﹣d=2，由此能求出动圆圆心轨迹方程． 【详解】 设M点坐标为（x，y），C（﹣2，0），动圆的半径为r， 则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质