3.2 双曲线-2021-2022学年高二数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（人教A版2019选择性必修第一册）

第3章 圆锥曲线的方程 3.2 双曲线 学习导航 1、 掌握双曲线的简单几何性质。 2、 了解双曲线的渐近性及渐近线的概念。 3、 掌握直线与双曲线的位置关系。 教学过程 一、双曲线及其标准方程 1、双曲线的定义： 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． 2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． 3．焦点：两个定点F1，F2. 4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|. 2、双曲线标准方程： 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 例题1 1．设，则关于的方程所表示的曲线是 A．长轴在轴上的椭圆 B．长轴在轴上的椭圆 C．实轴在轴上的双曲线 D．实轴在轴上的双曲线 【答案】C 【分析】 根据条件，方程．即，结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型． 【详解】 解：∵k＞1，∴1+k>0，k2-1＞0， 方程，即，表示实轴在y轴上的双曲线， 故选C． 2、 双曲线的简单几何性质 1、 双曲线的性质： 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 2、等轴双曲线： 实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为. 例题2 2．已知，是双曲线的两个焦点，是经过且垂直于轴的双曲线的弦，若，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据是经过且垂直于轴的双曲线的弦，，可得，从而可得的方程，即可求得双曲线的离心率． 【详解】 解：是经过且垂直于轴的双曲线的弦，， ，，所以 ， ， ． 故选：． 3、 双曲线的标准方程及性质的应用 1、 直线与双曲线的位置关系：设直线l：y＝kx＋m(m≠0)， ①双曲线C：－＝1(a>0，b>0)， ②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． 2、弦长公式：若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝. 例题3 3．过双曲线右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若，则这样直线l有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】 根据轴（弦是在同一支）和与轴不垂直（弦是跨两支）分成两种情况进行分类讨论，由此得出正确结论. 【详解】 设，则. 对于过双曲线一个焦点的弦长，如果弦是在同一支上，那么最短的弦是垂直于轴的弦，长度为；如果弦是跨两支，那么最短的弦为实轴. 过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点. 若轴，则为通径，而通径长度正好是4，故直线交双曲线于同支上的两点且，这样的直线只有一条. 若经过顶点，此时，故直线交双曲线于异支上的两点且，这样的直线有且只有两条. 故满足的直线有条. 故选：C 课时训练 1．椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点为，且.若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据椭圆和双曲线的定义以及焦点三角形中用余弦定理、离心率公式即可求解. 【详解】 不妨设P为第一象限的点， 在椭圆中： ① , 在双曲线中: ②, 联立①②解得, , 在中由余弦定理得： 即 即 椭圆的离心率， 双曲线的离心率， 故选：B 2．双曲线的顶点到渐近线的距离等于 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 分别写出双曲线的顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 双曲线的顶点为. 渐近线方程为：. 双曲线的顶点到渐近线的距离等于. 故选A. 3．已知双曲线的中心为坐标原点，离心率为，点在上，则的方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 讨论双曲线的焦点轴，设出方程