专题12 两点间的距离公式-2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A版2019选择性必修第一册）

2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A版2019选择性必修一） 专题12 两点间的距离公式 题型一 求平面两点间的距离 1．已知直线经过点，且被两条平行直线：和：截得的线段长为，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时与、的交点分别为，， 截得的线段的长，符合题意， 若直线的斜率存在，则设直线的方程为， 解得， 解得， 由，得，解得， 即所求的直线方程为， 综上可知，所求直线的方程为或， 故选：BC. 2．某地街道呈现东-西､南-北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点，，，，为报刊零售点.为使5个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.发行站应确定在格点（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设发行站的位置为， 零售点到发行站的距离为， 则， 这五个点的横坐标与纵坐标的平均值分别为： . . 记，.画图可知发行站的位置应该在点附近， 代入附近的点的坐标进行比较可知，在处取得最小值. 故答案为. 故选：D. 3．坐标原点在动直线上的投影为点，若点，那么的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线，可化为， 故直线过定点， 坐标原点在动直线上的投影为点， 故，所以在以为直径的圆上， 圆的圆心为，即，半径为， 根据点与圆的关系，， 故， 故选：A. 4．在直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线，轴正半轴于点､. （1）当的中点为时，求直线的方程； （2）求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由题意，设，，，，且，； 当的中点为时，有， 解得，，，， 直线的方程为， 化为一般式为； （2）当斜率不存在时，，此时， 当存在时，设直线的方程为：. 直线与相交：可得，， 直线与轴正半轴相交与，可得， 那么： ， 令，可得， 当时，由于，的最小值为：； 当且仅当时取等号.即. 当时，由于，的最小值为：； 当且仅当时取等号.即. ； 故得的最小值为：(当且仅当时取等号.即. 题型二 由顶点坐标判断三角形的形状 1．已知点，，，求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析. 【解析】证明：由题可知，，，， ， ， ， ， 又由坐标可知，，，三点不共线， 是等腰三角形． 2．在中，D是边上任意一点（D与不重合），且.求证：为等腰三角形. 【答案】证明见解析. 【解析】作，垂足为O，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴，建立直角坐标系（如图所示）. 设. 因为， 所以，由距离公式可得 ， 即. 又，故，即. 所以，即为等腰三角形. 题型三 由距离求点的坐标 1．（多选）等腰直角三角形的直角顶点为，若点A的坐标为，则点B的坐标可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】设，根据题意可得即 解得或所以或. 故选：AC． 2．已知点A(－3，4)，B(2，)在x轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则P点坐标为________． 【答案】 【解析】设点P(x，0)，则有|PA|＝＝， |PB|＝＝. 由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7， 解得x＝－，即所求点P为. 故答案为： 3．在直线x－y＋4＝0上取一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为________. 【答案】 【解析】设直线上一点，则到点，的距离相等， ∴， 解得，∴， ∴点的坐标为，故答案为. 4．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线称为“欧拉线”.已知的顶点，其“欧拉线”的直线方程为，则的顶点的坐标__________. 【答案】 【解析】设，由重心坐标公式得的重心为， 代入欧拉线方程得整理得①， 因为AB的中点为，，所以AB的中垂线的斜率为， 所以AB的中垂线方程为即， 联立，解得， ∴的外心为， 则②， 联立①②得或， 当时，点B、C两点重合，舍去； ∴即的顶点的坐标为. 故答案为：. 5．已知直线和点，过点作直线与直线相交于点，且，则点的坐标为___________，直线的方程为___________. 【答案】或 或. 【解析】根据题意，点在直线上，设的坐标为， 又由，则， 解可得：或5， 时，的坐标为，直线的方程为， 时，的坐标为，此时直线的斜率，直线的方程为，变形可得， 则的坐标为或，直线的方程为或， 故答案为：或；或. 题型四 用两点间的距离公式求函数最值 1．已知点，，点在轴上，则的最小值为（ ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【解析】点，，点在轴上， 点关系轴的对称点为， . 故选：