专题10 直线的一般式方程-2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A版2019选择性必修第一册）

2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A版2019选择性必修一） 专题10 直线的一般式方程 题型一 直线的一般式方程及辨析 1．如果，，那么直线经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABC 【解析】直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 如下图所示： 由图象可知，直线经过第一、二、三象限. 故选：ABC. 2．已知两点，，求线段AB的垂直平分线的方程． 【答案】 【解析】因为两点，， 所以线段中点坐标为，， 所以线段AB的垂直平分线的斜率为， 由点斜式可知：线段AB的垂直平分线的方程为：， 整理得：. 3．已知直线l的方程是． （1）当时，直线l的斜率是多少？当时呢？ （2）系数A，B，C取什么值时，方程表示经过原点的直线？ 【答案】（1）时，斜率；当时，直线l的斜率不存在；（2）且不同时为0. 【解析】（1）当时，直线l的斜率是；当时，直线l的斜率不存在； （2）因为直线过原点，所以， 所以当且不同时为0时，方程表示经过原点的直线. 4．画出直线，并在直线l外取若干点，将这些点的坐标代入，求它的值；观察有什么规律，并把这个规律表示出来． 【答案】在直线的左上方的点，坐标代入，值小于；在直线的右下方的点，坐标代入，值大于；在直线上的点，坐标代入，值等于； 【解析】画出直线的图象，如图： 取点， 把点代入直线方程， 代入分别为与； 将代入分别为与； 可得如下规律： 在直线的左上方的点，坐标代入，值小于； 在直线的右下方的点，坐标代入，值大于； 在直线上的点，坐标代入，值等于； 题型二 直线的一般式方程与其他形式之间互化 1．直线在轴上的截距为（ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】直线， 令，得. 直线在轴上的截距为. 故选：B. 2．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为(　　) A．，1 B．，－1 C．－，1 D．－，－1 【答案】D 【解析】∵直线x−y＝的斜率k= ∴直线 x−y＝的倾斜角α满足tanα=，得α=60° 由此可得直线ax+by-1=0的倾斜角为β=2α=120° 直线ax+by-1=0的斜率k=tan120°=- ∵直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1， ∴直线ax+by-1=0的斜截式方程为y=-x-1，化简得-x-y-1=0 可得a＝−，b=-1，故选D 3．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（ ） A． B．1 C．或 D． 【答案】D 【解析】因为直线不过，截距不是0， 故直线可化为：， 若直线在两坐标轴上的截距相等， 则，解得：， 故选：D． 4．已知直线l的一般式方程为2x－3y＋6＝0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距． 【答案】斜截式方程为：y＝x＋2；截距式方程为：＋＝1；直线的斜率为，在x轴、y轴上的截距分别为－3，2． 【解析】由l的一般式方程2x－3y＋6＝0得斜截式方程为：． 截距式方程为：． 由此可知，直线的斜率为，在x轴、y轴上的截距分别为－3，2． 题型三 由一般式方程判断直线的平行、垂直 1．已知直线l方程为f（x，y）＝0，P1（x1，y1）和P2（x2，y2）分别为直线l上和l外的点，则方程f（x，y）﹣f（x1，y1）﹣f（x2，y2）＝0表示（　　） A．过点P1且与l垂直的直线 B．与l重合的直线 C．过点P2且与l平行的直线 D．不过点P2，但与l平行的直线 【答案】C 【解析】P1（x1，y1）为直线l上的点，f（x1，y1）＝0，f（x，y）﹣f（x1，y1）﹣f（x2，y2）＝0，化为f（x，y）﹣f（x2，y2）＝0， 显然P2（x2，y2）满足方程f（x，y）﹣f（x1，y1）﹣f（x2，y2）＝0， 又因为f（x2，y2），则 f（x，y）﹣f（x2，y2）＝0与f（x，y）＝0平行， 所以f（x，y）﹣f（x1，y1）﹣f（x2，y2）＝0表示过点P2且与l平行的直线． 故选：C． 2．过点且与直线平行的直线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线方程为，， 直线过点， 代入直线方程的，得， 则所求直线方程为， 故选：B． 3．直线l过点(-1，2)，则与直线2x-3y+4=0平行的直线方程为________；与直线2x-3y+4=0垂直的直线方程为________． 【答案】2x-3y+8=0 3x+2y-1=0 【解析】直线2x-3y+4=0的斜率， ∴所求平行的直线斜率，由直线点斜率式得方程：，即2x-3y+8=0， ∴与2x-3y+4=0平行的直线方程为2x-3y+8