第一章 1 第1课时 勾股定理-2021-2022学年八年级上册数学【拔尖特训】北师大版

第一章　勾股定理 1　探索勾股定理 第1课时 勾股定理 [基础进阶] 1. D 2. B 3. B 4. 36cm2 6cm 5. (1) 20 (2) 11 6. 4 7. (1) 根据勾股定理,得AC2=AB2-BC2=102-62= 64(cm2).所以AC=8cm.(2) S△ABC= 1 2AC ·BC=12× 8×6=24(cm2).(3) 根据三角形面积公式,得1 2AB ·CD= 1 2BC ·AC,所以CD=BC ·AC AB = 6×8 10 = 24 5 (cm). [能力攀升] 8. D 解析:设这个直角三角形的另一条直角边长为x.根据 勾股定理,可知x2=252-72=576,所以x=24,即另一条直 角边长为24,故①错误.该直角三角形的周长为25+7+24= 56,故②错误.面积为12×7×24=84 ,故③错误.综上所述,正 确的有0个. 9. B 解析:因为CE 平分∠ACB,CF 平分∠ACD,所以 ∠ACE=∠BCE=12∠ACB ,∠ACF=∠DCF=12∠ACD. 所以∠ECF=∠ACE+∠ACF= 12 (∠ACB+∠ACD)= 1 2×180°=90°. 所以△EFC为直角三角形.又因为EF∥BC, 所以∠BCE=∠MEC,∠DCF=∠F.所以∠MCE=∠MEC, ∠MCF=∠F.过点 M 作MG⊥EC 于点G,所以∠MGE= ∠MGC=90°.因为 MG=MG,所以△MGE≌△MGC.所以 CM=EM=5.同理可得CM=MF=5.所以EF=10.由勾股 定理,可知CE2+CF2=EF2=100. 点拨:本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的运用,解题 的关键是首先证明出△EFC为直角三角形. 10. 7cm2或25cm2 解析:若第三边为直角三角形的直角边, 则4cm为直角三角形的斜边的长,3cm为直角三角形的另一 条直角边的长,此时以第三边为边长的正方形的面积为42- 32=16-9=7(cm2);若第三边为直角三角形的斜边,则3cm、 4cm分别为直角三角形的两条直角边的长,此时以第三边为 边长的正方形的面积为32+42=9+16=25(cm2).综上所述, 以第三边为边长的正方形的面积为7cm2或25cm2. 11. 17 解析:如图,因为大正方形的面积为64,所以AB= BD=8.因为小正方形的面积为49,所以DC=7.所以BC= BD+DC=8+7=15.在Rt△ABC 中,由勾股定理,可知 AC2=AB2+BC2=82+152=289.所以AC=17. (第11题) 12. 因为AD 是底边BC 上的中线,AB=AC,所以AD 是边 BC上的高.所以∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD 中,由 勾股定理,得BD2=AB2-AD2=576.所以BD=24.所以 CD=BD=24.所以△ABC的周长为26+26+24+24=100, 面积为1 2× (24+24)×10=240. 13. 根据勾股定理,得正方形a,b的面积和等于正方形c的面 积;正方形e,f的面积和等于正方形d的面积;正方形c,d的面 积和等于正方形ABCD 的面积.所以正方形a,b,c,d,e,f的面积 和等于2个正方形ABCD 的面积.因为正方形ABCD 的面积为 62=36,所以正方形a,b,c,d,e,f的面积和为36×2=72. [拓展拔尖] 14. 如图,取 BC 的中点 D,连接 AD.所以 BD=CD= 1 2BC=4cm. 因为△ABC 为等腰三角形,所以AB=AC.所 以AD 是边BC 上的高.所以∠ADB=∠ADC=90°.在 Rt△ABD 中,AD2=AB2-BD2=52-42=9(cm2),所以 AD=3cm.设点P 运动了ts.分两种情况:① 如图①,当 PA⊥AC 时,因为 AP2=PD2+AD2=PC2-AC2,所以 PD=2.25cm.所以BP=BD-PD=4-2.25=1.75(cm).所 以1.75=0.25t,解得t=7.② 如图②,当PA⊥AB 时,同理可 得PD =2.25cm.所 以 BP=BD +PD =4+2.25= 6.25(cm).所以6.25=0.25t,解得t=25.综上所述,当点P 运动7s或25s时,点P 与顶点A 的连线PA 与腰垂直. (第14题) 第2课时 勾股定理的证明与简单应用 [基础进阶] 1. D 2. C 3. 14 4. 如图,假设b>a,该图形的面积有两种求法:一种为边长为c 的正方形的面积+直角边分别为a,b的两个直角三角形的面 积,一种为边长分别为a,b