3.2 基本不等式知识点练习-2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

3.2 基本不等式 【知识提炼】 1.基本不等式1（不需考虑的正负）：，当且仅当时取等号. 2. 基本不等式2（需保证）：，当且仅当时取等号. 3.使用基本不等式的条件：“一正，二定，三相等”. 所谓“一正”，就是使用时需保证都是正数，如果都是负数，可均提取符号； 所谓“二定”，就是利用基本不等式求最值时，两数之和或两数之积需为一个固定的值； 所谓“三相等”，就是得保证等号可以取得，如果取不到，需采用其它方法求解. 4.当均为正数时，（1）若（为定值），则当且仅当时，取得最大值；（2）若（为定值），则当且仅当时，取得最小值. 【知识点题组精练】 知识点一、利用基本不等式求最值 1. 已知都是正数,若,则的最大值为 . 2.若,则的最小值是 . 3. 已知,则的最小值为 . 4. 若,,则的最小值为 . 5. 的最小值为 . 6. 设,均为正数,则的最小值为 . 7. 已知正实数满足,则的最小值为 . 8. 已知,则的最小值是 . 9. 已知正数满足,则的最小值为 . 10. 已知,且,则的最小值为 . 11. 已知正实数满足,则的最小值为 . 12. 已知均为正数,且,则的最小值为 . 13. 已知, 则式子的最大值为 . 14. 已知且,则的最小值为 . 15. , ,则的最大值为 . 知识点二、利用基本不等式证明 1. 已知为正数. (1)若,证明: ; (2)若,证明: . 2. 设均为正数, (Ⅰ)证明: ; (Ⅱ)若,证明：. 3. (1)已知是不全相等的正数,求证: . (2)已知,且,求证: . 4. 已知为正实数,且,证明：. 5. (1)描述并证明基本不等式; (2)已知为正数,且满足,证明: ; 6.已知都是正数,求证: . 7. 设均为正数 , 且. 求证: (1) . (2) . 8. 已知正数，求证：这三个数中,至少有一个不小于4. 9. 已知,求证: . 10. (1)若,求证: ; (2)已知均大于零,且,求证: . $3.2 基本不等式 【知识点题组精练】 知识点一、利用基本不等式求最值 1.【答案】 【解析】因为,,所以,当且仅当时取等号.化简得: . 2.【答案】 【解析】,则,,当时取“”. 3.【答案】 【解析】令,则, 所以,当且仅当,即时取等号,所以的最小值为.故答案为: . 4.【答案】2 【解析】由,,则, 当且仅当时取“”,即的最小值为2.故答案为:2. 5.【答案】 【解析】由,可得: , 当且仅当,即,时取等号,故的最小值为. 6.【答案】4 【解析】（解法一），因为均为正数且,故,所以,当且仅当时等号成立, 故即的最小值为4. （解法二），当且仅当时等号成立. 7.【答案】 【解析】 因为正实数满足, 则 ,当且仅当且时取等号, 则的最小值为，故答案为: . 8.【答案】4 【解析】因为,所以,，所以,当且仅当时取等号. 故答案为:4. 9.【答案】18 【解析】由，可得, 所以, 当且仅当即时等号成立,所以的最小值为18,故答案为:18. 10.【答案】5 【解析】,当且仅当即时取等号，∴最小值为5. 11.【答案】2 【解析】正实数满足，,当且仅当等号成立, ,故的最小值为2. 12.【答案】10 【解析】∵,∴,(当且仅当时,取等号). 13.【答案】 【解析】∵, ∴, ,， 当且仅当, 即时等号成立 , ∵, ∴当时 , 式子取得最大值. 14.【答案】 【解析】,当且仅当,即时取等号. 15.【答案】 【解析】由题意,,则,当且仅当,即时等号成立,即的最大值为. 知识点二、利用基本不等式证明 1.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】(1)∵,变形得 ∴ ∴，当且仅当,即时,等号成立 (2) ，，， .即.当且仅当时,等号成立. 2.【答案】见解析 【解析】(Ⅰ)因为均为正数,由重要不等式可得 ，,, 以上三式相加可得, 即; (Ⅱ)因为,由(Ⅰ)可知, 故, 所以得证. 3.【答案】见解析 【解析】证明:(1)∵是正数, ,,当时等号成立; 同理可得, ,当时等号成立;,当时等号成立; 又是不全相等的正数, (2)∵,且,, 当且仅当即时取“”,故. 4.【答案】证明详见解析. 【解析】因为,且, 所以(当且仅当时取等号), (当且仅当时取等号), (当且仅当时取等号), 三式相加,得, 即 (当且仅当时取等号). 5