第3章第3节导数与函数的极值最值 课件-山东省滕州市第一中学2022届高考数学一轮复习

§3.2　导数与函数的极值最值 第三章　导数及其应用 滕州一中 邢启强 联系方式：邮箱xingqiqiang@163.com 1 考纲要求 考纲研读 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值. 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值. 1.利用导数研究函数的极值是近几年高考的热点． 2.选择题、填空题侧重于利用导数确定函数的单调性和极值．解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列 的综合应用，一般难度较大，属中高档题. 讲课人：邢启强 ‹#› 滕州一中 邢启强 联系方式：邮箱xingqiqiang@163.com 2 讲课人：邢启强 ‹#› 1．函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． f′(x)＜0 f′(x)＞0 2．函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． f′(x)＞0 f′(x)＜0 极大值 极小值 讲课人：邢启强 ‹#› 极值 讲课人：邢启强 ‹#› 例1.(1).如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 A (2).(多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 A.f(x)有两个极值点 B.f(0)为函数的极大值 C.f(x)有两个极小值 D.f(－1)为f(x)的极小值 BC 讲课人：邢启强 ‹#› 讲课人：邢启强 ‹#› 讲课人：邢启强 ‹#› 练习已知函数f(x)＝x2－1－2aln x(a≠0)，求函数f(x)的极值. 解　因为f(x)＝x2－1－2aln x(x>0)， ①当a<0时，因为x>0，且x2－a>0，所以f′(x)>0对x>0恒成立. 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无极值. 所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 无极大值.综上，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上无极值. 讲课人：邢启强 ‹#› 例3 (1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＋b＝____. 11 解析　f′(x)＝3x2＋6ax＋b， 当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0， ∴f(x)在R上单调递增，∴f(x)无极值，所以a＝1，b＝3不符合题意， 当a＝2，b＝9时，经检验满足题意.∴a＋b＝11. (2)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是_______. 解析　f(x)＝x(ln x－ax)，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ln x－2ax. 由题意知，当x>0时，1＋ln x－2ax＝0有两个不相等的实数根， 当0<x<1时,φ′(x)>0;当x>1时,φ′(x)<0,∴φ(x)在(0,1)上单调递增,在(1，＋∞)上单调递减， 且φ(1)＝1,当x→0时,φ(x)→－∞,当x→＋∞时,φ(x)→0, 讲课人：邢启强 ‹#› 函数极值的两类热点问题 (1)求函数f(x)极值的一般解题步骤 ①确定函数的定义域. ②求导数f′(x). ③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根. ④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号. (2)根据函数极值情况求参数的两个要领 ①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. ②验证：求解后验证根的合理性. 讲课人：邢启强 ‹#› 讲课人：邢启强 ‹#› 归纳与提升 讲课人：邢启强 ‹#› 练习：已知函数g(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x(a∈R). (1)若a＝1,求g(x)在区间[1,e]上的最大值； (2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a). 解∵a＝1,∴g(x)＝ln x＋x2－3x, ∵x∈[1,e],∴g′(x)≥0,∴g(x)在[1,e]上单调递增,∴g(x)max＝g(e)＝e2－3e＋1. 解: g(x)的定义域为(0,＋∞)， 讲课人：邢启强 ‹#› (1)若函数在区间[