第3章第2节导数与函数的单调性 课件-山东省滕州市第一中学2022届高考数学一轮复习

§3.2　导数与函数的单调性 第三章　导数及其应用 考纲要求 考纲研读 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)； 1.利用导数研究函数的单调性是近几年高考的热点. 2.选择题、填空题侧重于利用导数确定函数的单调性．解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一般难度较大，属中高档题. 讲课人：邢启强 ‹#› 函数的单调性与导数 1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系： (1)若 ，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若 ，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若 ，则f(x)在这个区间内是常数． f '(x)>0 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤． (1)求函数定义域；(2)求 ；(3)在定义域内解不等式 ； (4)根据结果确定f(x)的单调区间． f ' (x)>0或f ′(x)<0 f '(x)<0 f '(x)=0 f '(x) 3.“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的什么条件？ 若f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件. 4.若函数f(x)在区间(a，b)上存在递增区间，则在区间(a，b)上，f′(x)应满足什么条件？ 若f(x)在(a，b)上存在递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解. 讲课人：邢启强 ‹#› [例1]　已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其中t∈R. (1)当t＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)当t>0时，求f(x)的单调区间． 讲课人：邢启强 ‹#› 求可导函数单调区间的一般步骤和方法 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求f '(x)，令f '(x)＝0，求出它们在定义域内的一切实数根． (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间． (4)确定f '(x)在各个开区间内的符号，根据f '(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性． 练习1.函数y＝xcos x－sin x在下面哪个区间上单调递增（ ） B 2.函数f(x)＝(x－2)ex的单调递增区间为 　. (1，＋∞) 3.已知定义在区间(0,π)上的函数f(x)＝x＋2cos x,则f(x)的单调递增区间为 . 确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调的步骤即可，但应注意 一是不能遗忘求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开. 讲课人：邢启强 ‹#› 例2已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x,a>0,试讨论函数y＝f(x)的单调性. 解　函数的定义域为(0，＋∞)， ∴f′(x)≥0在(0,＋∞)上恒成立,∴函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增； 当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 讲课人：邢启强 ‹#› (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点. 练习：g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2. 解　g(x)的定义域为R，g′(x)＝(x－a)ex－2(x－a)＝(x－a)(ex－2)， 令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln 2， ①当a>ln2时，x∈(－∞，ln 2)∪(a，＋∞)时，f′(x)>0，x∈(ln 2，a)时，f′(x)<0， ②当a＝ln2时，f′(x)≥0恒成立，∴f(x)在R上单调递增， ③当a<ln2时，x∈(－∞，a)∪(ln 2，＋∞)时，f′(x)>0，x∈(a，ln 2)时，f′(x)<0， 综上,当a>ln2时，f(x)在(－∞,ln2)，(a,＋∞)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减； 当a＝ln 2时，f(x)在R上单调递增； 当a<ln 2时，f(x)在(－∞，a)，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a，ln 2)上单调递减. 讲课人：邢启强 ‹#› 讲课人：邢启强 ‹#› 讲课人：邢启强 ‹#› 讲课人：邢启强 ‹#› 讲课人：邢启强 ‹#› 讲课人：邢启强 ‹#› 根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利