第一章 集合 1.4充要条件-四川省高职单招考试数学复习教材

4. 已知集合 U = {1,2,3,4,5,6},A = {1,3,5},B = {2,3,4},则集合 A ∩ ∁UB = (　 　 ) A. {1,3,5,6} B. {1,3,5} C. {1,3} D. {1,5} 5. 如图,A,B 均是非空集合,则阴影部分表示的集合为 (　 　 ) A. A ∪ (∁UB) B. ∁U(A ∪ B) C. (∁UA) ∪ (∁UB) D. (A ∪ B) ∩ ∁U(A ∩ B) 6. 若 A = {1,4,x},B = {1,x2},且 B = A ∩ B,则 x = . 7. 设全集 U = R,P = {x | x ≥1},Q = {x | 0 < x < 5},则(∁UP) ∩ (∁UQ) = . 8. 若集合 A = {2,4,x},B = {2,x2},且 A ∪ B = {2,4,x},则 x = . 9. 已知集合 A = { - 2,1},B = {x | ax = 2},若 A ∪ B = A,则实数 a 的值构成的集合为 . 10. 已知函数 f(x) = ln( - x2 + 2x + 3) 的定义域为集合 A,函数 g(x) = x2 + 2x - 2,x ∈ [ - 2,1] 的值域为 集合 B. (1) 求 A,B; (2) 设集合 C = {x | a ≤ x ≤ a + 1},若 A ∩ B ∩ C = C,求实数 a 的取值范围. 1. 4　 充要条件 31 1. 命题 用语言、符号或式子表达,可以判断真假的陈述句叫做命题. 判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题. 2. 充分条件、必要条件与充要条件 (1)“如果 p则 q” 是真命题时,我们就说由 p可推出 q,称 p是 q的充分条件,或 q是 p的必要条件,记作: p⇒q. (2) 如果由 p 可推出 q,且由 q 可推出 p,就称 p 是 q 的充要条件,或 p 与 q 等价,或 p 当且仅当 q,记 作:p⇔q. 题型一:充分条件、必要条件、充要条件的判定 　 用“充分条件”“必要条件” 或“充要条件” 填空. (1)“x 是实数” 是“x 是有理数” 的 ; (2)“x > 3” 是“x > 5” 的 ; (3)“x 是正方形” 是“x 是矩形” 的 ; (4)“A ⊆ B” 是“A ∩ B = A” 的 . 【解析】 　 (1)∵ x 是有理数必然也是实数,但 x 是实数不一定是有理数, ∴ “x 是实数” 是“x 是有理数” 的必要条件. (2)∵ x > 3 不一定有 x > 5,如 4 > 3,4 < 5,x > 5 必有 x > 3, ∴ “x > 3” 是“x > 5” 的必要条件. (3)∵ 正方形一定是矩形,矩形不一定是正方形, ∴ “x 是正方形” 是“x 是矩形” 的充分条件. (4)∵ A ⊆ B⇔A ∩ B = A. ∴ “A ⊆ B” 是“A ∩ B = A” 的充要条件. 【答案】 　 (1) 必要条件 　 (2) 必要条件 　 (3) 充分条件 　 (4) 充要条件 　 已知 p 是 q 的充分条件,s 是 r 的必要条件,p 是 s 的充要条件,求 q 与 r 的关系. 【解析】 　 根据已知,得 p⇒q(真),r⇒s(真),p⇔s(真), ∴ r⇒s⇔p⇒q, ∴ r⇒q(真), ∴ r 是 q 的充分条件,q 是 r 的必要条件. 题型二:充分条件、必要条件、充要条件的综合应用 　 已知 p:“实数 x 满足不等式x - 9x - 6 < 0”;q:“实数 x 满足不等式 x 2 - 3kx + 2k2 ≤ 0,其中实数 k > 0” . 若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 k 的取值范围. 41 【解析】 　 因为x - 9x - 6 < 0, 所以(x - 6)(x - 9) < 0,解得 6 < x < 9. x2 - 3kx + 2k2 ≤0 可化为(x - k)(x - 2k) ≤ 0. 因为 k > 0, 所以 k ≤ x ≤2k. 设 A = {x | 6 < x < 9},B = {x | k ≤ x ≤2k} . 因为 p 是 q 的充分不必要条件, 所以 A ⫋ B, 所以 k ≤6, 2k ≥9,{ 所以 92 ≤ k ≤6. 故实数 k 的取值范围是{k | 92 ≤ k ≤6} . 1. 设 A,B 是集合,“A ⊆ B” 是“A ∪ B = B” 的 (　 　 ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. “x2 = y2” 是“x = y” 的 (　 　 ) A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知