第一章 集合 1.2集合间的基本关系-四川省高职单招考试数学复习教材

1. 2　 集合间的基本关系 1. 子集、真子集与集合相等 子集 真子集 集合相等 概念 如果集合 B 中的元素都是集合 A 中 的元素,那么把集合 B 叫做集合 A 的子集 如果集合B是集合 A的子集,并且 A中至少 有一个元素不属于 B,那么把 B叫做 A的真 子集 如果两个集合的元素完全相同,那 么就说这两个集合相等 记法 B ⊆ A 或 A ⊇ B B ⫋ A 或 A ⫌ B A = B 读法 B 包含于 A(A 包含 B) B 真包含于 A(A 真包含 B) 集合 A 等于集合 B 图示 或 性质 (1) 任 何 一 个 集 合 是 它 本 身 的 子集; (2) 对于集合 A,B,C,如果 C ⊆ B, 且 B ⊆ A,那么 C ⊆ A (1) 对于集合 A,B,如果 B ⊆ A,且 A ≠ B, 那么 B ⫋ A; (2) 对于集合 A,B,C,如果 C ⫋ B,且 B ⫋ A,那么 C ⫋ A (1)A ⊆ B 且 B ⊆ A; (2) 两个集合中的元素完全相同 2. 空集 (1) 空集的定义 不含有任何元素的集合叫做空集,记为 ⌀. (2) 空集的性质 ① 空集是任何集合的子集. ② 空集是任何非空集合的真子集. ③ 空集只有一个子集,即它本身. 5 (3)⌀,0,{0} 与{⌀} 之间的关系 ⌀ 与 0 ⌀ 与{0} ⌀ 与{⌀} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ⌀ 是集合;0 是实数 ⌀ 不含任何元素;{0} 含一 个元素 0 ⌀ 不含任何元素;{⌀} 含一个元素,该元素是 ⌀ 关系 0 ∉ ⌀ ⌀ ⫋ {0} ⌀ ⫋ {⌀} 或 ⌀ ∈ {⌀} 题型一:集合间关系的判断 　 集合 A = {0,3},集合 B = {x | x(x - a) = 0},若 A = B,则 a 的值为 (　 　 ) A. 0 B. 3 C. - 3 D. 0 或 3 【解析】 　 集合 B = {x | x(x - a) = 0} = {0,a} . ∵ A = B,A = {0,3}, ∴ a = 3. 【答案】 　 B 　 下列各关系式表达正确的是 (　 　 ) A. 3 ∈ {0,1,2} B. 2 ⫋ {0,1,2} C. ⌀ ∈ {0,1,2} D. ⌀ ⫋ {0,1,2} 【解析】 　 3 ∉ {0,1,2},故 A 不正确. 2 是元素,{0,1,2} 是集合,元素与集合的关系只能用符号“∈”“∉” 表示,故 B 不正确. ⌀ 是集合,{0,1,2} 是集合,集合与集合的关系不能用符号“∈”“∉” 表示,故 C 不正确. ⌀ 是任何非空集合的真子集,故 D 正确. 【答案】 　 D 　 下列关系中,正确的是 (　 　 ) A. 0 ∈ ⌀ B. {0} = ⌀ C. ⌀ ∈ {0} D. ⌀ ⫋ {0} 【解析】 　 0 是元素,⌀ 是不含任何元素的集合,{0} 是只有一个元素 0 的集合,故 D 正确. 【答案】 　 D 　 若集合 M = {x | x ≤6},a = 2 2 ,则下面结论中正确的是 (　 　 ) A. a ∉ M B. a ⊆ M C. {a} ⊆ M D. {a} ∈ M 【解析】 　 ∵ 2 2 ≤ 6,2 2 是元素,M 和{a} 是集合, ∴ a ∈ M,{a} ⊆ M. 【答案】 　 C 题型二:确定集合的子集、真子集 　 已知集合 A = {1,2},B = {1},则下列关系正确的是 (　 　 ) A. B ∉ A B. B ∈ A C. B ⊆ A D. A ⊆ B 【解析】 　 两个集合之间不能用符号“∈” 或“∉”,A = {1,2} 和 B = {1} 是集合,排除选项 A,B. ∵ 集合 A = {1,2},B = {1}, 6 ∴ 集合 B 中的元素都是集合 A 中的元素, ∴ 由子集的定义知,B ⊆ A. 【答案】 　 C 　 已知{a,b} ⊆ A ⫋ {a,b,c,d,e} . 求满足条件的集合 A 的个数. 【解析】 　 ∵ {a,b} ⊆ A, ∴ A 中必有元素 a,b. ∵ A 是{a,b,c,d,e} 的真子集, ∴ A 中元素除 a,b 外,还必须在 c,d,e 三个元素中任取 0 个或 1 个或 2 个, ∴ 满足条件的集合 A 为{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e},即满足 条件的集合 A 共有 7 个. 题型三:由集合间的关系确定参数 　 设集合 A = {x | ax2 - ax - 1 > 0},若 A 为空集,则实数 a 的取值范围是 (　 　 ) A. {x | - 4 < x < 0} B. {x | - 4 < x ≤0}