第一章 集合 1.1集合的含义与表示-四川省高职单招考试数学复习教材

1. 1　 集合的含义与表示 1. 集合与元素 (1) 集合与元素的含义 把某些确定的对象看成一个整体就构成一个集合,通常用大写字母 A,B,C,… 表示集合. 集合也简 称集. 集合中的每个确定的对象叫做这个集合的元素,通常用小写字母 a,b,c,… 表示集合中的元素. (2) 元素与集合的关系 关系 概念 符号 读法 属于 如果 a 是集合 A 中的元素,就说 a 属于集合 A a ∈ A a 属于集合 A 不属于 如果 a 不是集合 A 中的元素,就说 a 不属于集合 A a ∉ A a 不属于集合 A 　 　 (3) 集合中的元素的特性 ① 确定性:对于一个给定的集合,任何一个对象或者是这个集合中的元素,或者不是它的元素,这是集 合的最基本特性. ② 互异性:集合中的任何两个元素都是能区分的(即互不相同的),相同的对象归入任何一个集合时,只 1 能算作这个集合的一个元素. ③ 无序性:在一个集合中,通常不考虑它的元素之间的顺序,如:{a,b,c} = {b,c,a} . (4) 集合的分类 有限集:含有有限个元素的集合. 无限集:含有无限个元素的集合. 2. 集合的表示方法 (1) 常用数集及其记法 由数组成的集合,叫做数集. 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N∗ 或 N + Z Q R 　 　 (2) 空集 不含任何元素的集合叫做空集,记作“⌀” . (3) 集合表示的基本方法 ① 列举法 当集合元素不多时,常常把集合的元素一一列举出来,写在大括号内表示这个集合,这种表示集合的方 法叫做列举法. ② 性质描述法 给定 x 的取值集合 I,如果属于集合 A 的任一元素 x 都具有性质 p( x) ,而不属于集合 A 的元素都不 具有性质 p( x) ,则性质 p( x) 叫做集合 A 的特征性质 . 于是,集合 A 可用它的特征性质 p( x) 描述为: { x ∈ I | p( x) } . 它表示集合 A 是由集合 I 中具有性质 p( x) 的所有元素构成的 . 这种表示集合的方法称为性质描述法. 题型一:集合的概念 　 下列表述中,哪个可构成集合 (　 　 ) A. 本校身材较高的同学 B. 本班兴趣广泛的同学 C. 本校全体女生 D. 本班学习较好的男生 【解析】 　 选项 A,B,D 中的“身材较高” “兴趣广泛” “学习较好” 没有绝对标准,不能确定对象的 归属,故选项 A,B,D 不能构成集合 . 选项 C 能确定元素的归属,故选项 C 能构成集合 . 【答案】 　 C 题型二:元素与集合的关系 　 设集合 A = {x | x < 2,x ∈ N},则下列关系中正确的是 (　 　 ) A. - 1 ∈ A B. 1 ∈ A C. { - 1,0} ⊆ A D. A = {1} 【解析】 　 ∵ 集合 A = {x | x < 2,x ∈ N} = {0,1}, ∴ 1 ∈ A. 【答案】 　 B 题型三:集合中元素的特性 　 数集{2a,a2 - a} 中 a 的取值范围是 . 【解析】 　 由集合中任何两个元素互不相同,得 a2 - a ≠2a, ∴ a2 - 3a ≠0, 2 ∴ a ≠0 且 a ≠3. 【答案】 　 {a | a ≠0 且 a ≠3} 　 已知 A = {a + 2,(a + 1) 2,a2 + 3a + 3},且 1 ∈ A,求实数 a 的值. 【解析】 　 由 1 = a + 2 或(a + 1)2 = 1 或 a2 + 3a + 3 = 1 得 a = - 1 或 a = - 2 或 a = 0. 当 a = - 1 时,a + 2 = a2 + 3a + 3 = 1,不符合题意. 当 a = - 2 时,(a + 1) 2 = a2 + 3a + 3 = 1,不符合题意. 当 a = 0 时,a + 2 = 2,(a + 1) 2 = 1,a2 + 3a + 3 = 3,符合题意. 故实数 a 的值为 0. 【点评】 　 对此类题,在求出 a 的多个值后,一定要根据元素的互异性代入检验. 题型四:集合的表示方法 　 用列举法表示下列集合. (1) 平方等于 1 的全体实数; (2) 一年中有 31 天的月份的全体. 【解析】 　 (1)∵ - 1,1 的平方等于 1, ∴ 平方等于 1 的实数全体的集合可表示为{ - 1,1} . (2)∵ 一年中,1,3,5,7,8,10,12 月分别有 31 天, ∴ 一年中有 31 天的月份的全体的集合可表示为{1 月,3 月,5 月,7 月,8 月,10 月,12 月} . 　 将集合 (x,y) | x + y = 5, 2x - y = 1{{ }用列举法表示,下列选项正确的是 (　 　 )