第三章 函数 3.4二次函数的图象和性质-四川省高职单招考试数学复习教材

(3) f(x) = | x | - 2; (4) f(x) = 1 2x - 1 + 12 . 14. 已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x > 0 时,f(x) = 1 - 2x . (1) 求当 x < 0 时 f(x) 的解析式; (2) 求不等式 f(x) < 1 的解集. 15. 已知 f(x) = log2 2 + ax x - 2 为奇函数,且 a > 0. (1) 求 a 的值; (2) 判断 f(x) 在(2, + ∞) 上的单调性,并用单调性定义证明. 3. 4　 二次函数的图象和性质 15 1. 二次函数的定义 一般地,如果 y = ax2 + bx + c(a,b,c 是常数,a ≠0),那么 y 叫做 x 的二次函数. 2. 二次函数 y = ax2 的图象和性质 (1) 二次函数 y = ax2 的图象是顶点为坐标原点,对称轴为 y 轴的抛物线. (2) 二次函数 y = ax2 的图象与 a 符号的关系如下: ① 当 a > 0 时 ⇔ 抛物线开口向上 ⇔ 顶点为其最低点; ② 当 a < 0 时 ⇔ 抛物线开口向下 ⇔ 顶点为其最高点. (3) 顶点是坐标原点,对称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为 y = ax2(a ≠0) . 3. 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 (1) 图象 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线. (2) 标准形式 二次函数 y = ax2 + bx + c 用配方法可化成 y = a(x - h) 2 + k 的形式,其中 h = - b2a,k = 4ac - b2 4a . (3) 二次函数常见的几种形式 ①y = ax2;②y = ax2 + k;③y = a(x - h) 2;④y = a(x - h) 2 + k;⑤y = ax2 + bx + c. (4) 二次函数的顶点、对称轴 ①y = ax2 + bx + c = a x + b2a( ) 2 + 4ac - b 2 4a ,其顶点坐标是( - b 2a, 4ac - b2 4a ),对称轴是直线 x = - b 2a. ② 运用配方的方法,将二次函数的解析式化为 y = a(x - h) 2 + k的形式,得到二次函数图象的顶点坐标 为(h,k),对称轴是直线 x = h. (5) 抛物线 y = ax2 + bx + c 中,a,b,c 的作用 ①a 决定开口方向及开口大小. ②b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线 y = ax2 + bx + c 的对称轴是直线 x = - b2a,故 b = 0 时,对称轴为 y轴; ba > 0(即 a,b同号) 时,对称轴在 y轴左侧; b a < 0(即 a,b异号) 时,对称轴在 y轴右侧. ③c 的大小决定抛物线 y = ax2 + bx + c 与 y 轴交点的位置. 抛物线 y = ax2 + bx + c 与 y 轴有且只有一 个交点(0,c),当 c = 0 时,抛物线经过原点;当 c > 0 时,抛物线与 y轴交于正半轴;当 c < 0 时,抛物线与 y轴 交于负半轴. 4. 几种特殊的二次函数的图象特征 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y = ax2 y = ax2 + k y = a(x - h) 2 y = a(x - h) 2 + k y = ax2 + bx + c 当 a > 0 时,开口向上; 当 a < 0 时,开口向下 x = 0(y 轴) (0,0) x = 0(y 轴) (0,k) x = h (h,0) x = h (h,k) x = - b2a ( - b 2a, 4ac - b2 4a ) 25 5. 用待定系数法求二次函数的解析式 (1) 一般式 y = ax2 + bx + c 已知图象上三点或三对 x,y 的值,通常选择一般式. (2) 顶点式 y = a(x - h) 2 + k 已知图象的顶点或对称轴,通常选择顶点式. (3) 交点式 已知图象与 x 轴的两个交点的横坐标 x1,x2,通常选用交点式 y = a(x - x1)(x - x2) . 题型一:二次函数图象与性质的应用 　 抛物线 y = ax2 + x 的对称轴方程是 (　 　 ) A. x = 1a B. x = - 1 a C. x = 1 2a D. x = - 1 2a 【解析】 　 抛物线 y = ax2 + x 的对称轴方程是 x = - 12a. 【答案】 　 D 　 二次函数 y = x2 - 2x 图象的顶点坐标是 (　 　 ) A. (1,1) B. ( - 1,1) C. (1, - 1) D. (