第三章 函数 3.3函数的奇偶性-四川省高职单招考试数学复习教材

3. 3　 函数的奇偶性 1. 对称点的坐标特征 一般地,设点 P(a,b) 为平面内的任意一点,则 ① 点 P(a,b) 关于 x 轴的对称点的坐标为(a, - b); ② 点 P(a,b) 关于 y 轴的对称点的坐标为( - a,b); ③ 点 P(a,b) 关于原点 O 的对称点的坐标为( - a, - b) . 2. 函数的奇偶性 (1) 奇函数、偶函数的定义 偶函数 奇函数 定义 一般地,如果对于函数 f(x) 的定义域内任 意一个 x,都有 f( - x) = f(x),那么函数 f(x) 就叫做偶函数 一般地,如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x,都有 f( - x) = - f(x),那么函数 f(x) 就叫做奇函数 定义域特征 关于原点对称 　 　 (2) 奇函数、偶函数的图象特征 ① 奇函数的图象特征 若一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形;反之,若一个函数的图 象是以原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数. ② 偶函数的图象特征 若一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形;反之,若一个函数的图象关 于 y 轴对称,则这个函数是偶函数. (3) 函数的奇偶性 如果一个函数是奇函数或偶函数,那么就说这个函数具有奇偶性. 54 3. 常见函数的奇偶性 函数 奇偶性 一次函数 y = kx + b(k ≠0) 当 b = 0 时是奇函数;当 b ≠0 时既不是奇函数也不是偶函数 反比例函数 y = ax (a ≠0) 奇函数 二次函数 y = ax2 + bx + c(a ≠0) 当 b = 0 时是偶函数;当 b ≠0 时既不是奇函数也不是偶函数 4. 奇、偶函数的运算性质 设 f(x),g(x) 的定义域分别是 F,G,且 f(x) ± g(x) ≠ 0,若 F = G,则有以下结论: f(x) g(x) f(x) + g(x) f(x) - g(x) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定奇偶性 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 5. 奇函数、偶函数的单调性 ① 奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单 调性. ② 偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小) 值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关 于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数. 6. 非奇非偶函数 不具有奇偶性的函数叫做非奇非偶函数. 题型一:判断函数的奇偶性 　 判断下列函数的奇偶性: (1) f(x) = 3x;　 (2) f(x) = 1x - 1;　 (3) f(x) = lg( x 2 + 1 - x); (4) f(x) = x4 - 2x2;　 (5) f(x) = x2(x ∈ [ - 2,4]) . 【解析】 　 (1) 函数 f(x) = 3x 的定义域为 R,关于原点对称. 又 f( - x) = 3( - x) = - 3x = - f(x), ∴ f(x) = 3x 为奇函数. (2)∵ f(x) = 1x - 1 的定义域为{x | x ≠1},定义域不关于原点对称, ∴ f(x) = 1x - 1 为非奇非偶函数. (3) 函数 f(x) = lg( x2 + 1 - x) 有意义须 x2 + 1 - x > 0,即 x2 + 1 > x. ∵ x2 + 1 > x2 = | x | ≥ x, ∴ 函数定义域为 R,关于原点对称. 64 ∵ f(- x) = lg[ (- x)2 + 1 - (- x)] = lg( x2 + 1 + x) = lg ( x 2 + 1 + x)( x2 + 1 - x) x2 + 1 - x = lg 1 x2 + 1 - x = - lg( x2 + 1 - x) = - f(x), ∴ f(x) = lg( x2 + 1 - x) 是奇函数. (4) f(x) = x4 - 2x2 的定义域为 R,关于原点对称, ∵ f( - x) = ( - x) 4 - 2( - x) 2 = x4 - 2x2 = f(x), ∴ f(x) = x4 - 2x2 是偶函数. (5)∵ 函数定义域为[ - 2,4],定义域不关于原点对称, ∴ f(x) = x2,x ∈ [ - 2,4] 为非奇非偶函数. 　 设 f(x) = 2 2x - 1 + 1,证明 f(x) 是奇函数. 【解析】 　 ∵ 函数 f(x) = 2 2x - 1 + 1 有意义时,2x - 1 ≠ 0,即 x ≠0, ∴ 函数 f(x) = 2 2x - 1 + 1 的定义域关于原点对称. ∵ f( - x) + f(x) = 2 2