第三章 函数 3.2函数的单调性-四川省高职单招考试数学复习教材

9. 已知 f(x - 1) = x2 + 2,求 f(x) 的解析式. 10. 求下列函数的值域: (1)y = e x + 2 ex - 1 ; (2)y = x 2 - 1 x2 + 1 ; (3)y = x2 + 3x,x ∈ [ - 2,0]; (4)y = x + 1x - 2(x > 2) . 11. 已知函数 f(x) = x 2, x ≤0, 2 - x, x > 0.{ (1) 求 f( f( - 2)) 的值. (2) 求方程 f(x) = 12 x 的解. 3. 2　 函数的单调性 93 1. 增函数、减函数 名称 定义 图形表示 几何意义 增函数 一般地,设函数 f(x) 的定义域为 I,如果对 于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自 变量的值 x1,x2,当 x1 < x2 时,都有 f(x1) < f(x2),那么就说函数 f(x) 在区间 D上是增 函数 函数 f(x) 的图象在区间 D 上从左到右 是上升的 减函数 一般地,设函数 f(x) 的定义域为 I,如果对 于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自 变量的值 x1,x2,当 x1 < x2 时,都有 f(x1) > f(x2),那么就说函数 f(x) 在区间 D上是减 函数 函数 f(x) 的图象在区间 D 上从左到右 是下降的 2. 单调性、单调区间、单调函数 如果函数 y = f(x) 在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数 y = f(x) 在这一区间具有单调性,区间 D 叫做函数 y = f(x) 的单调区间. 如果函数在其整个定义域内具有单调性,那么就称此函数是单调函数. 3. 常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数 y = ax + b(a ≠0) a > 0 时,在 R 上单调递增; a < 0 时,在 R 上单调递减 反比例函数 y = ax (a ≠0) a > 0 时,单调减区间是( - ∞,0) 和(0, + ∞); a < 0 时,单调增区间是( - ∞,0) 和(0, + ∞) 二次函数 y = a(x - m) 2 + n(a ≠0) a > 0 时,单调减区间是( - ∞,m],单调增区间是[m, + ∞); a < 0 时,单调减区间是[m, + ∞),单调增区间是( - ∞,m] 4. 复合函数的单调性 设函数 t = g(x) 在 M 上有定义,且 t ∈ N,y = f( t) 在 N 上有定义. (1) 如果 g(x) 在 M 上递增,f( t) 在 N 上也递增,那么 f[g(x)] 在 M 上也递增; (2) 如果 g(x) 在 M 上递减,f( t) 在 N 上也递减,那么 f[g(x)] 在 M 上递增; (3) 如果 g(x) 在 M 上递增,f( t) 在 N 上递减,那么 f[g(x)] 在 M 上递减; (4) 如果 g(x) 在 M 上递减,f( t) 在 N 上递增,那么 f[g(x)] 在 M 上递减. 04 题型一:判断函数的单调性 　 (1) 函数 y = 2x - 3 在 R 上是 函数(填“增”“减”) . (2) 函数 y = x2 - 2x + 3 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 . (3) 函数 y = 1x 在(0, + ∞) 上是 函数(填“增”“减”) . (4) 函数 y = log 1 2 x 在(0, + ∞) 上是 函数(填“增”“减”) . (5) 函数 y = 1 2( ) x 在 R 上是 函数(填“增”“减”) . 【解析】 　 (1) 如图 ① 所示,函数在 R 上是增函数. (2) 如图 ② 所示,函数 y = x2 - 2x + 3 在[1, + ∞) 上单调递增,在( - ∞,1] 上单调递减,故函数的单 调递增区间是[1, + ∞),单调递减区间是( - ∞,1] . (3) 如图 ③ 所示,当 x > 0 时,函数 y = 1x 随 x 的增大而减少,故函数在(0, + ∞) 上是减函数. (4) 如图 ④ 所示,函数 y = log 1 2 x 在(0, + ∞) 上是减函数. (5) 如图 ⑤ 所示,函数 y = ( 12 ) x 在 R 上是减函数. 图 ① 　 　 　 图 ② 　 　 　 图 ③ 图 ④ 　 　 　 图 ⑤ 【答案】 　 (1) 增 　 (2)[1, + ∞)　 ( - ∞,1]　 (3) 减 　 (4) 减 　 (5) 减 　 讨论函数 f(x) = x + 1x 在(1, + ∞) 上的单调性. 【解析】 　 设 1 < x1 < x2 . 由 f(x1) = x1 + 1 x1 ,f(x2) = x2 + 1 x2 ,得 f(x1) - f(x2) = x1 + 1 x1 (