第二章 不等式 2.3一元二次不等式-四川省高职单招考试数学复习教材

5. 设全集 U = R,集合 A = {x | 0 < x < 9},集合 B = {x | x ≤3},则∁R(A ∩ B) 等于 (　 　 ) A. {x | 0 < x ≤3} B. {x | x ≤0 或 x > 3} C. {x | x ≤0} D. {x | x > 3} 6. 设集合 A = {x | x > 2},B = {x | x > - 1},求 A ∩ B,A ∪ B,∁RA,并用区间的形式表示以上集合. 7. 设 A = {x | x > a 且 x ∈ Z},B = {x | x < b 且 x ∈ Z},若 A ∩ B = {1,2},试求 a,b 的取值范围(用区 间表示) . 2. 3　 一元二次不等式 1. 一元二次不等式的概念 含有一个未知数,并且未知数的最高次数为二次的不等式,叫做一元二次不等式. 2. 一元二次不等式的一般形式 一元二次不等式的一般形式为 ax2 + bx + c > 0(≥ 0) 或 ax2 + bx + c < 0(≤ 0),其中 a ≠0. 3. 一元二次不等式的解法 (1) 一元二次不等式与相应方程及函数间的关系 当 a > 0 时,一元二次不等式对应一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 判别式 Δ 的不同情况,二次函数 y = ax2 + bx +c 的图象与 x 轴的位置关系有以下三种. 42 故可得到当 a > 0 时,一元二次不等式在各种情况下的解集如下表所示: 方程或不等式 解集 Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 ax2 + bx + c = 0 {x1,x2} {x0} ⌀ ax2 + bx + c > 0 ( - ∞,x1) ∪ (x2, + ∞) ( - ∞,x0) ∪ (x0, + ∞) R ax2 + bx + c ≥0 ( - ∞,x1] ∪ [x2, + ∞) R R ax2 + bx + c < 0 (x1,x2) ⌀ ⌀ ax2 + bx + c ≤0 [x1,x2] {x0} ⌀ 　 　 (2) 一元二次不等式的解法 由一元二次不等式与相应方程、函数间的关系知,解一元二次不等式的基本步骤如下: ① 判断二次项系数是否为正数,如果不是正数,将不等式两边同乘以 - 1; ② 判断对应方程解的情况,如果有解,求出方程的解; ③ 根据上表写出一元二次不等式的解集. 题型一:一元二次不等式的解法 　 解下列一元二次不等式: (1)x2 - x - 12 ≥ 0; (2)9x2 - 4 < 0; (3)3x2 - 2x - 8 > 0; (4)4 + 3x - x2 ≥0. 【解析】 　 (1) 因为一元二次不等式 x2 - x - 12 ≥0 的二次项系数 1 > 0,且方程 x2 - x - 12 = 0 的解为 x1 = - 3,x2 = 4, 所以一元二次不等式 x2 - x - 12 ≥ 0 的解集为{x | x ≥4 或 x ≤- 3} . (2) 将一元二次不等式 9x2 - 4 < 0 变形为 x2 - 2 3( ) 2 < 0. 因为方程 x2 - 2 3( ) 2 = 0 的解为 x = ± 23 , 所以一元二次不等式 9x2 - 4 < 0 的解集为{x | - 23 < x < 2 3 } . (3) 因为一元二次不等式 3x2 - 2x - 8 > 0 的二次项的系数 3 > 0,且方程 3x2 - 2x - 8 = 0 的解为 x1 = 2,x2 = - 4 3 , 所以该不等式的解集为{x | x > 2 或 x < - 43 } . (4) 因为不等式 4 + 3x - x2 ≥0 的二次项系数 - 1 < 0, 所以先将不等式 4 + 3x - x2 ≥0 的二次项系数化为大于零的数,即 x2 - 3x - 4 ≤ 0. 又方程 x2 - 3x - 4 = 0 的解为 x1 = 4,x2 = - 1, 所以不等式 x2 - 3x - 4 ≤ 0 的解集为{x | - 1 ≤ x ≤4}, 所以原不等式的解集为{x | - 1 ≤ x ≤4} . 　 解不等式 - 3 < 4x - 4x2 ≤0. 52 【解析】 　 原不等式等价于 4x - 4x2 ≤0, 4x - 4x2 > - 3,{ 即 x ≥1 或 x ≤0, - 12 < x < 3 2 , { ∴ - 12 < x ≤0 或 1 ≤ x < 3 2 , ∴ 不等式的解集为 - 12 ,0( ]∪ 1, 3 2[ ). 题型二:一元二次不等式的应用 　 当 x 取何值时, 5x2 - 6x - 8 有意义? 【解析】 　 由题意可知,要使 5x2 - 6x - 8 有意义,须 5x2 - 6x - 8 ≥ 0. 因为不等式 5x2