第二章 不等式 2.1不等式的基本性质-四川省高职单招考试数学复习教材

2. 1　 不等式的基本性质 1. 比较实数大小的方法 一般地,对于两个任意的实数 a 和 b,有 a - b > 0⇔a > b; a - b = 0⇔a = b; a - b < 0⇔a < b. 因此,比较两个实数的大小,只需要考察它们的差即可. 2. 不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提示 对称性 a > b⇔b < a ⇔ 传递性 a > b,b > c⇒a > c ⇒ 可加性 a > b⇔a + c > b + c ⇔ 61 (续表) 性质 性质内容 特别提示 可乘性 a > b c > 0}⇒ac > bc a > b c < 0}⇒ac < bc 注意 c 的符号 同向可加性 a > b c > d}⇒a + c > b + d ⇒ 同向同正可乘性 a > b > 0 c > d > 0}⇒ac > bd ⇒ 可乘方性 a > b > 0⇒an > bn (n ∈ N,n ≥2) 可开方性 a > b > 0⇒ n a > n b (n ∈ N,n ≥2) a,b 同为正数 3. 不等式的其他性质 (1) 倒数性质 ①a > b,ab > 0⇒ 1a < 1 b ; ②a < 0 < b⇒ 1a < 1 b ; ③a > b > 0,0 < c < d⇒ ac > b d ; ④0 < a < x < b 或 a < x < b < 0⇒ 1b < 1 x < 1 a . (2) 分数性质 若 a > b > 0,m > 0,则 ① b - ma - m < b a < b + m a + m(a - m > 0); ② a + mb + m < a b < a - m b - m(b - m > 0) . 题型一:利用不等式的性质比较大小 　 如果 a > b,a ≠0,b ≠0,那么 (　 　 ) A. 1a < 1 b B. 1 a = 1 b C. 1a > 1 b D. 1 a 和 1 b 的大小不确定 【解析】 　 1a - 1 b = b - a ab . ∵ a > b, 71 ∴ b - a < 0. 若 a > 0 且 b > 0,则 ab > 0,此时 1a - 1 b < 0⇒ 1 a < 1 b . 若 a > 0 且 b < 0,则 ab < 0,此时 1a - 1 b > 0⇒ 1 a > 1 b . 若 a < 0 且 b < 0,则 ab > 0,此时 1a - 1 b < 0⇒ 1 a < 1 b . 【答案】 　 D 　 若 a < b < 0,则下列不等式成立的是 (　 　 ) A. ab < 1 B. a 2 < b2 C. 1a < 1 b D. 1 a > 1 b 【解析】 　 ∵ a < b < 0, ∴ ab > 1,a 2 > b2 . 又 1a - 1 b = b - a ab ,ab > 0,b - a > 0, ∴ 1a - 1 b > 0, ∴ 1a > 1 b . 【答案】 　 D 　 已知 x ≠ y,将下面两式用不等号连接. x4 + y4 x3y + xy3 . 【解析】 　 (x4 + y4) - (x3y + xy3) = x3(x - y) + y3(y - x) = (x - y)(x3 - y3) = (x - y) 2(x2 + xy + y2) = (x - y) 2 x + 12 y( ) 2 + 34 y 2[ ]. ∵ x ≠ y, ∴ (x - y) 2 > 0, x + 12 y( ) 2 + 34 y 2 > 0, ∴ x4 + y4 > x3y + xy3 . 【答案】 　 > 　 已知 a > 2,b > 2,试比较 a + b 与 ab 的大小. 【解析】 　 ab - (a + b) = (ab - a - b + 1) - 1 = (a - 1)(b - 1) - 1. ∵ a > 2,b > 2, ∴ a - 1 > 1,b - 1 > 1, ∴ (a - 1)(b - 1) > 1, ∴ (a - 1)(b - 1) - 1 > 0, ∴ ab > a + b. 　 已知 a > b > c > d > 0,且 ab = c d ,P = a + d,Q = b + c,试比较 P 与 Q 的大小. 【解析】 　 ∵ ab = c d , ∴ a = bcd , 81 ∴ P - Q = a + d - (b + c) = bcd + d - b - c = bc + d2 - bd - cd d = b(c - d) - d(c - d) d = (c - d)(b - d)d . ∵ c > d > 0,b > d > 0, ∴ c - d > 0,b - d > 0, ∴ P > Q.