2.5.1 直线与圆的位置关系-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1　直线与圆的位置关系 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(重点) 2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(难点) 3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．(难点) 通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养. “大漠孤烟直，长河落日圆”，这是唐代诗人王维的诗句．它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片． 图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？结合初中知识总结，直线与圆有几种位置关系？ 1．直线与圆的三种位置关系 位置关系 交点个数 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 思考：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？ [提示]　“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”． 3．用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与圆的位置关系可以用代数法或几何法判断． (　　) (2)过圆外一点作圆的切线有两条． (　　) (3)当直线与圆相离时，可求圆上点到直线的最大距离和最小距离． (　　) (4)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切． (　　) [提示]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 B　[圆心(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1. ∵d＝r，∴直线与圆相切．故选B.] 3．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝(　　) A．1 B． C． D．2 D　[直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0,0)，则|AB|＝2.] 4．若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________． x＋2y－5＝0　[由题意，得kOP＝(x－1)，即x＋2y－5＝0.]，所以所求切线方程为y－2＝－＝2，则该圆在点P处的切线的斜率为－ 直线与圆的位置关系 【例1】　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． [解]　法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. ∵Δ＝4m(3m＋4)， ∴(1)当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； (2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切， 即直线与圆只有一个公共点； (3)当Δ<0时，即－<m<0时，直线与圆相离， 即直线与圆没有公共点． 法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4， 即圆心为C(2,1)，半径r＝2. 圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离 d＝.＝ (1)当d<2时，即m>0或m<－时，直线与圆相交， 即直线与圆有两个公共点； (2)当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； (3)当d>2时，即－<m<0时，直线与圆相离， 即直线与圆没有公共点． 直线与圆位置关系判断的三种方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． [跟进训练] 1．已知直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，则直线l与圆C的位置关系为________． 相交　[由直线方程得(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，令得 故直线l过定点A(