训练二 追及相遇问题-《备战2022年高考一轮复习专题复习与训练》

专题复习与训练二　追及相遇问题 类型一　追及相遇问题 知识回望 1.分析思路 可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”. (1)一个临界条件：速度相等.它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点； (2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口. 2.能否追上的判断方法(临界条件法) 物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当vB＝vA时，若xB>xA＋x0，则能追上；若xB＝xA＋x0，则恰好追上；若xB<xA＋x0，则不能追上. 3.特别提醒 若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动. 4.常用分析方法 (1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图. (2)二次函数法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于位移x与时间t的二次函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况. ①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次； ②若Δ＝0，说明刚好追上或相遇； ③若Δ<0，说明追不上或不能相遇. (3)极值法 设经过时间t，分别列出两物体的位移—时间关系式，得位移之差Δx与时间的二次函数，再利用数学极值法求解距离的最大(或最小)值. (4)图象法：将两个物体运动的速度—时间关系图线在同一图象中画出，然后利用图象分析、求解相关问题. 例1　一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以v＝6 m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车.则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？ 【答案】2 s　6 m 【解析】解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为Δx，则有v＝at 所以t＝＝2 s Δx＝vt－at2＝6 m. 解法二(极值法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则Δx＝vt－at2 代入已知数据得Δx＝6t－t2 由二次函数求极值的条件知：t＝2 s时，Δx有最大值6 m 所以t＝2 s时两车相距最远，为Δx＝6 m. 解法三(图象法)：自行车和汽车的v－t图象如图所示， 由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积， 所以有t1＝ s＝2 s，＝ Δx＝ m＝6 m.＝ 变式训练1 (2020·甘肃城关市兰州一中高三月考)A、B两车在同一直线上向右匀速运动，B车在A车前，A车的速度大小为v1＝8 m/s，B车的速度大小为v2＝20 m/s，如图1所示.当A、B两车相距x0＝28 m时，B车因前方突发情况紧急刹车(刹车过程可视为匀减速直线运动)，加速度大小为a＝2 m/s2，从此时开始计时，求： (1)A车追上B车之前，两者相距的最大距离； (2)A车追上B车所用的时间； (3)从安全行驶的角度考虑，为避免两车相撞，在题设条件下，A车在B车刹车的同时也应刹车的最小加速度. 【答案】(1)64 m　(2)16 s　(3)0.25 m/s2 【解析】(1)当A、B两车速度相等时，相距最远，根据速度关系得：v1＝v2－at1 代入数据解得：t1＝6 s 此时，根据位移时间的关系得：xA1＝v1t1 xB1＝v2t1－at12 Δxm＝xB1＋x0－xA1 代入数据解得：Δxm＝64 m (2)B车刹车到停止运动所用时间： t0＝＝10 s 发生的位移：xB2＝＝100 m 此时：xA2＝v1t0＝80 m 则：xA2＜x0＋xB2， 可见此时A车并未追上B车，而是在B车停止后才追上B车停止后A车运动时间为：t2＝＝6 s 故所用总时间为：t＝t0＋t2＝16 s (3)A车刹车减速至0时刚好追上B车时，加速度最小 ＋x0＝ 代入数据解得：aA＝0.25 m/s2. 变式训练2 (避碰问题)(2020·山东烟台市模拟)一汽车在直线公路段上以54 km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶.经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车，则： (1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？ (2)若汽车刹车时的加速度大小只有4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速行驶，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？ 【答案】(1)5 m/s2　(2)1 m/s2 【解析】(1)设汽车的加速度大小为a，初速度v汽＝54 km/h＝15 m/s， 初始距离d＝14 m 在经过反应时间0.4 s后，汽车与自行车相距d′＝d－(v汽－v自)t0＝10 m 从汽车刹车开始计时