6.2.3 向量的数乘运算-【赢在微点】2020-2021学年新教材高中数学人教A版（2019）必修第二册·轻松课堂

匠心微点 只为改变 第*页 返回导航 轻松课堂 高中数学 必修 第二册 A版 第六章 平面向量及其应用 匠心微点 只为改变 第*页 返回导航 轻松课堂 高中数学 必修 第二册 A版 6．2　平面向量的运算 6.2.3　向量的数乘运算 自主预习案 明新知 合作探究案 攻重难 当堂检测案 提素养 匠心微点 只为改变 第*页 返回导航 轻松课堂 高中数学 必修 第二册 A版 一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运动4秒钟的位移对应的向量怎样表示？是4a吗？蚂蚁向西运动4秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是－4a吗？你能用图形表示吗？ 匠心微点 只为改变 第*页 返回导航 轻松课堂 高中数学 必修 第二册 A版 【问题】　类比实数的运算“a＋a＋a＋a＝4a”你能猜想实例中a＋a＋a＋a的结果吗？ 提示：a＋a＋a＋a＝4a，结果为向量。 匠心微点 只为改变 第*页 返回导航 轻松课堂 高中数学 必修 第二册 A版 【新课标·新学法】 课程标准 学法指导 1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解两个平面向量共线的含义。 2．了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。 1.与实数乘法的运算类似，向量数乘也有“结合律”“分配律”。运用向量的数乘运算时，要注意其几何意义。 2．向量共线的条件实际上是由向量数乘推出的，它可以判断几何中三点共线和两直线平行等问题。 匠心微点 只为改变 第*页 返回导航 轻松课堂 高中数学 必修 第二册 A版 自主预习案 明新知 稳健启程　　新知初步构建 匠心微点 只为改变 第*页 返回导航 轻松课堂 高中数学 必修 第二册 A版 1．向量的数乘运算 (1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，它的长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ>0时，λa的方向与a的方向 ； 当λ<0时，λa的方向与a的方向 。 ③由①可知，当λ＝0时，λa＝ ； 由①②知，(－1)a＝ 。 向量 相同 相反 λa 0 －a 匠心微点 只为改变 第*页 返回导航 轻松课堂 高中数学 必修 第二册 A版 (2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μa)＝ ； ②(λ＋μ)a＝ ； ③λ(a＋b)＝ ； 特别地，有(－λ)a＝ ＝ ；λ(a－b)＝ 。 (3)向量的加、减、数乘运算统称为向量的 运算，向量的线性运算结果 仍是 。对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b。 线性 向量 (λμ)a λa＋μa λa＋λb －(λa) λ(－a) λa－λb 匠心微点 只为改变 第*页 返回导航 轻松课堂 高中数学 必修 第二册 A版 微提醒 (1)λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量。实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义。 (2)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算。主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”及“公因式”指的是向量，实数指的是向量的系数。 匠心微点 只为改变 第*页 返回导航 轻松课堂 高中数学 必修 第二册 A版 2．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 。也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个 表示。 微提醒 定理中a≠0不能漏掉。若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa。 非零向量 b＝λa 匠心微点 只为改变 第*页 返回导航 轻松课堂 高中数学 必修 第二册 A版 微思考　 1．向量数乘运算的结果是什么？ 2．若向量a是非零向量，则向量eq \f(a,|a|)与向量a有什么关系？ 提示：数乘运算的结果是向量。 提示：因为向量a是非零向量，所以|a|>0，根据数乘向量的几何意义可知：eq \f(a,|a|)是与向量a同向的单位向量。 匠心微点 只为改变 第*页 返回导航 轻松课堂 高中数学 必修 第二册 A版 3．向量的共线定理：向量a(a≠0)与向量b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得b＝