1.4 用一元二次方程解决问题3（备作业）-【上好课】2021-2022学年九年级数学上册同步备课系列（苏科版）

【上好课】2021-2022学年九年级数学上册同步备课系列（苏科版） 1.4 用一元二次方程解决问题 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：本课时； 考试时间：15分钟； 总分：50分 一．解答题 1．（2019·成都双流中学实验学校九年级月考）如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区．当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC＝500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA＝300km． （1）如果这艘轮船不改变航向，经过9小时，轮船与台风中心相距多远？它此时是否受到台风影响？ （2）如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？ 【答案】（1）轮船与台风中心相距40 km，它此时受到台风影响；（2）轮船经7小时就进入台风影响区 【分析】 （1）根据勾股定理即可得到结论； （2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可． 【详解】 解：（1）∵∠CAB＝90°，BC＝500，AB＝300， ∴AC＝400km， 设经过9小时，轮船到达点F，且航行了40×9＝360km，台风中心到达B′，且BG＝20×9＝180km， ∴CF＝360， ∴AF＝40，AG＝120km， ∴ ∴轮船与台风中心相距40 km，它此时受到台风影响； （2）如图所示： 设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出： CE＝30x千米，BB′＝20x千米， ∵BC＝500km，AB＝300km，AC＝400km， ∴AE＝400﹣40x，AB′＝300﹣20x， ∴AE2+AB′2＝EB′2， 即（400﹣40x）2+（300﹣20x）2＝2002， 解得：x1＝15，x2＝7， ∴轮船经7小时就进入台风影响区． 【点睛】 此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是解题关键． 2．（2021·广东华侨中学）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动． （1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由． 【答案】（1）1秒；（2）不可能，见解析 【分析】 （1）经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解； （2）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令 ×2x（5﹣x）＝7，化简该方程后，判断该方程的△与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以． 【详解】 解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2，根据题意得 （5﹣x）×2x＝4， 整理得：x2﹣5x+4＝0， 解得：x＝1或x＝4（舍去）． 答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2； （2）由（1）同理可得 （5﹣x）2x＝7． 整理，得x2﹣5x+7＝0，因为b2﹣4ac＝25﹣28＜0， 所以，此方程无解． 所以△PBQ的面积不可能等于7cm2． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在． 3．（2021·江苏无锡·九年级专题练习）如图，矩形 中， ， ，点 从点 出发沿 向点 移动（不与点 、 重合），一直到达点 为止；同时，点 从点 出发沿 向点 移动（不与点 、 重合）． （1）若点 、 均以 的速度移动，经过多长时间四边形 为菱形？ （2）若点 为 的速度移动，点 以 的速度移动，经过多长时间 为直角三角形？ 【答案】(1) 经过 秒四边形 是菱形；（2）经过2秒、 秒 、 秒时 为直角三角形 【分析】 （1）根据矩形性质可得 ，由P、Q两点速度大小相同得到平行四边形 ，只需 ，四边形 是菱形，设经过x秒四边形 是菱形，将BP、DP表示出来，建立一元二次方程即可得解； （2）由 分为① ② 两种情况讨论：对①，过Q作 于M，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，即可得解；对②，则 ，由此可得关于x的一元一次方程，即可得解． 【详解】 解：（1）由题可知 , 由于P、Q两点速度大小相同， ， 是平行四边形