第一章 特殊平行四边形 拓展-2021-2022学年九年级上册初三数学同步课时培优作业（北师大版）

长没有变化.∵C△EFC=EF+EC+FC,由(1),得BE =EH,HF=DF,又∵BC=DC,EF=EH+HF, EC=BC-BE,FC=DC-DF,∴C△EFC=BE+DF +BC-BE+BC-DF=2BC,∴△ECF 的周长没有 变化. 10.(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AO=CO,又∵△ACE 是 等 边 三 角 形,∴EO⊥ AC,即DB⊥AC,∴平行四边形 ABCD 是菱形. (2)∠EAD=15°时,四边形 ABCD 是正方形.理由: ∵△ACE是等边三角形,∴∠AEC=60°,∵EO⊥ AC,∴∠AED= 1 2 ∠AEC=30° ,∵∠EAD=15°, ∴∠ADO = ∠EAD + ∠AED =45°,∵ 四 边 形 ABCD 是菱形,∴∠ADC=2∠ADO=90°,∴四边形 ABCD 是正方形. 11.(1)①∵四边形ABCD 是矩形,∴AD∥BC, ∴∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE,∵EF 垂直平 分AC,垂足为O,∴OA=OC,∴△AOE≌△COF, ∴OE=OF,∴四边形AFCE 为平行四边形,又∵EF ⊥AC,∴四边形AFCE 为菱形; ②设菱形的边长 AF=CF=xcm,则BF=(8-x)cm,在 Rt△ABF 中,AB=4cm,由勾股定理得42+(8-x)2=x2,解 得x=5,∴AF=5cm. (2)①显然当P 点在AF 上 时,Q 点在CD 上,此时A,C,P,Q 四点不可能构成 平行四边形;同理 P 点在AB 上时,Q 点在DE 或 CE 上,也不能构成平行四边形,∴只有当P 点在BF 上,Q 点在ED 上时,才能构成平行四边形,∴以A, C,P,Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC= QA,∵点P 的速度为每秒5cm,点Q 的速度为每秒 4cm,运动时间为t秒,∴PC=5t,QA=12-4t, ∴5t=12-4t,解得t= 4 3. ② 由题意得,以 A,C, P,Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,点P,Q 在互相平行的对应边上,分三种情况:(i)当 P 点在 AF 上,Q 点在CE 上时,AP=CQ,即a=12-b,得a +b=12;(ii)当P 点在BF 上,Q 点在DE 上时,AQ =CP,即12-b=a,得a+b=12;(iii)当P 点在AB 上,Q 点在CD 上时,AP=CQ,即12-a=b,得a+b =12.综上所述,a 与b满足的数量关系式是a+b= 12(ab≠0). 12.(1)①证明:∵△ABC 为等边三角形,∴AB =AC,∠BAC=60°,∵∠DAF=60°,∴∠BAC= ∠DAF,∴∠BAD=∠CAF,∵四边形 ADEF 是菱 形,∴AD=AF,∴△ABD≌△ACF,∴∠ADB= ∠AFC; ②结论成立; (2)结论不成立,∠AFC= ∠ACB-∠DAC.证 明:∵△ABC 为 等 边 三 角 形, ∴AB=AC,∠BAC =60°,∵ ∠BAC = ∠DAF, ∴∠BAD=∠CAF,∵四边形ADEF 是菱形,∴AD =AF,∴△ABD≌△ACF,∴∠ADC=∠AFC,又 ∵∠ACB=∠ADC+∠DAC,∴∠AFC=∠ACB- ∠DAC; (3)图略,∠AFC=2∠ACB-∠DAC 或 ∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°. 第一章拓展 一、1.D 2.A 3.D 4.B 5.B 6.A 7.D 8.D 二、9.3 10.18° 11. 2 3 12. (5,0) 13.4 14.75° 15.(3)n-1 三、16.(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD= BC,AD∥BC,又∵BE=DF,∴AF=CE,∴四边形 AECF 为平行四边形. (2)证明:∵AE=BE,∴∠B =∠BAE,又∵∠BAC=90°,∴∠B+∠BCA=90°, ∠CAE+∠BAE=90°,∴∠BCA=∠CAE,∴AE= CE,又∵四 边 形 AECF 为 平 行 四 边 形,∴四 边 形 AECF 是菱形. 17.(1)∵四边形 ABCD 是菱形,∴BC=CD, AC 平 分∠BCD,∴△BCE≌△DCE,∴∠EBC= ∠EDC,又 ∵ AB ∥ DC,∴ ∠APD = ∠CDP, ∴∠EBC=∠APD. (2)当P 点运动到AB 边的中 点时,△ADP 的面积等于菱形ABCD 面积的 1 4. 理 由:连接 DB,∵∠DAB=60°,AD=AB,∴△ABD 为等边三角形,∵P 是AB 边的中点,∴DP⊥AB, ∴S△ADP = 1 2AP ·DP,S菱形ABCD =AB ·DP, ∵AP= 1 2AB ,∴S△ADP = 1 2 × 1 2AB ·DP= 1 4S菱形ABCD . 18.(1)证明:∵DE⊥AG 于点E,B