第一章 专题拓展1 特殊平行四边形的应用问题-2021-2022学年九年级上册初三数学同步课时培优作业（北师大版）

专题拓展1 特殊平行四边形的应用问题 典型例题 例1 解:(1)根据菱形的性质易求出水平方向的对 角线长度为2 (103)2-(53)2=30(cm). 由题意,得l=30+26×(231-1)=6010(cm). (2)当d=20时,设需要x 个这样的菱形图案. 根据题意,得30+20×(x-1)=6010. 解得x=300. 即需要300个这样的菱形图案. 变式训练1 解:(1)∵4.2m=420cm,2.8m= 280cm,420÷30=14,280÷20=14,∴将瓷砖的长沿 着墙壁的长贴,宽顺着墙壁的宽来贴,可以发现长和 宽都 可 以 贴 14 块 这 样 的 瓷 砖,故 要 贴 14×14 =196(块). (2)原本可出现(196×2)个菱形,但沿墙的瓷砖 有一部分不能构成菱形,故可构成的菱形是196×2 - 14×2×4-4 4 =365 (个).而有花纹的菱形比白色菱 形又少了 14×2×4-4 4 =27 (个),故有花纹的菱形的 个数为196-27=169(个). 例2 证明:连接CF. ∵四边形ABCD 为矩形, ∴AD=BC,∠BAD=∠ABC=90°. ∴∠ABE=90°. ∵点F 为AE 的中点,∴BF=AF. ∴∠FAB=∠FBA.∴∠FAD=∠FBC. ∴△FAD≌△FBC.∴∠AFD=∠BFC. ∵CE=CA,AF=EF,∴CF⊥AE. ∴∠AFC=∠AFD+∠CFD=90°. ∴∠BFC+∠CFD=90°=∠BFD. 即BF⊥FD. 变式训练2 解:∵在矩形ABCD 中,∠ADC=90°, DF 平分∠ADC,∴∠FDC=45°. 又∠BDF=15°,∴∠BDC=45°+15°=60°. 在矩形ABCD 中,由矩形的对角线相等且互相 平分得OD=OC,∴△DOC 是等边三角形. ∴∠DOC=60°,OC=CD. 又∵在Rt△DCF 中,∠FDC=45°, ∴CF=CD=OC.∴∠COF=∠CFO. 又∠OCF=90°-∠OCD=90°-60°=30°, ∴∠COF=(180°-30°)× 1 2=75°. 例3 连接AC 交BD 于点O,在菱形ABCD 中,AB =AD,AC⊥BD,BO= 1 2BD ,∵AB=BD=a, ∴BO = OD = 1 2 a ,在 Rt△AOD 中,AO = AD2-OD2= 3 2a ,∴S菱形ABCD=2× 1 2BD ·AO = 3 2a 2,S正方形A'B'C'D'=a2,设方法(1)中空隙地面积 为S1,方法(2)中空隙地面积为S2,则S1=S菱形ABCD -S圆A= 3 2a 2- π 4a 2,S2=S正方形A'B'C'D'-S圆A'= a2- π 4a 2,∵ 3 2<1 ,∴S菱形ABCD<S正方形A'B'C'D',S1 <S2,∴栽植方法(1)比栽植方法(2)能更充分地利 用土地. 变式训练3 可以同时到达.理由:连接BE 交AD 于 G,∵BA∥DE,AE∥DB,∴四边形ABDE 为平行四 边形,∴AB=DE,AE=BD,BG=GE,∵AF∥BC, G 是BE 的中点,∴F 是CE 的中点,即 EF=FC, ∵EC⊥BC,AF∥BC,∴AF⊥CE,即AF 垂直平分 CE,∴DE=DC,即 AB=DC,∴AB+AE+EF= DC+BD+CF,∴二人同时到达F 站. 巩固练习 1.D 2.A 3.A 4.A 5.2 6.二 7.143 8. 25 2 或56或10 9.322+16 10.(1)= = (2)无数 图略,直线过平行四边形对角线交点即可 (3)经过平行四边形对称中心的任意直线,都可以 把平行四边形分成满足条件的图形. 11.(1)5 (2) (3) 12.(1) (2)在图2中,EF=FG=GH=HE= 22+42 =25,∴四边形EFGH 的周长为85,在图3中, EF=GH= 22+12= 5,FG=HE= 32+62= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·6· 35,∴四边形EFGH 的周长为2× 5+2×35= 85,∴矩形ABCD 的反射四边形的周长为定值. (3)延长 GH 交CB 的延长线于点 N.∵∠1= ∠2,∠1=∠CFM