第一章 专题拓展2 特殊平行四边形中的图形变换问题-2021-2022学年九年级上册初三数学同步课时培优作业（北师大版）

35,∴四边形EFGH 的周长为2× 5+2×35= 85,∴矩形ABCD 的反射四边形的周长为定值. (3)延长 GH 交CB 的延长线于点 N.∵∠1= ∠2,∠1=∠CFM,∴∠2=∠CFM,∴Rt△FCE≌ Rt△FCM,∴EF=MF,EC=MC,同理:NH=EH, NB=EB,∴MN=2BC=16,∵∠M=90°-∠CFM =90°-∠1,∠N=90°-∠3,∴∠M=∠N,∴GM =GN,过点G 作GK⊥BC 于K,则 KM= 1 2MN= 8,∴GM= GK2+KM2= 42+82=45,∴四边 形EFGH 的周长为85. 专题拓展2 特殊平行四边形中的 图形变换问题 典型例题 例1 B 变式训练1 5+ 3 例2 (332 ,- 3 2 ) 变式训练2 (10,3) 例3 解:(1)由折叠的性质可得: B'F=BF,∠B'FE=∠BFE. ∵AD∥BC,∴∠B'EF=∠BFE=∠B'FE. ∴B'E=B'F.∴B'E=BF. (2)猜想a2+b2=c2.理由如下: 由题意得,A'E=AE=a,A'B'=AB=b. 由(1)知,B'E=BF=c. 在△A'B'E 中,∵∠A'=90°, ∴A'B'2+A'E2=B'E2,即a2+b2=c2. 变式训练3 解:由矩形的性质及翻折的对称性可得 Rt△ACD ≌Rt△ACD'.∴AD'=AD,∠ACD'= ∠ACD=∠CAF.∴AF=CF.设BF=x,则 AF=8 -x=CF.在 Rt△CFB 中,由勾股定理,得 BF2+ BC2=CF2,即x2+42=(8-x)2,解得x=3.∴AF =CF = 8- x = 5.在 Rt△ABC 中,AC = AB2+BC2= 64+16=45. ∴△ACF 的周长=AC+2AF=45+10. 例4 解:(1)根据图形的对称性,本来 DF 和BF 相 等,但是“在正方形AEFG 绕点A 旋转的过程中,线 段DF 和BF 始终相等”不正确.例如,当点F 旋转到 AB 上时,BF 最短(小于AB),而这时DF 大于AD, 即DF 大于BF. (2)可以找到一条线段BE 与DG 始终相等.理由 如下:如题图②,连接BE. 在正方形ABCD 和正方形AEFG 中, AE=AG,AD=AB,且∠DAB=∠GAE=90°, ∴∠DAB-∠GAB=∠GAE-∠GAB, 即∠DAG=∠BAE. ∴△ADG 绕点A 顺时针旋转90°后能和△ABE 重合. ∴DG=BE. 变式训练4 解:(1)猜想:BM +DN=MN. 证明:如图,延长CB 至点 E,使BE=DN,连接AE. 在正方形ABCD 中, ∠ABC=∠BAD=∠D=90°,AD=AB, ∴∠ABE=∠D. 又∵DN=BE,∴△ADN≌△ABE. ∴AN=AE,∠DAN=∠BAE. ∵∠MAN=45°,∴∠DAN+∠BAM=45°. ∴∠BAE+∠BAM=45°,即∠EAM=45°. ∴∠EAM=∠MAN. 又∵AM=AM,∴△AME≌△AMN(SAS). ∴MN=ME. 又∵ME=BM+BE=BM+DN, ∴BM+DN=MN. (2)DN-BM=MN. 巩固练习 1.B 2.A 3.A 4.D 5.D 6.23或9- 35 7.2 10 8.15° 9.①③ 10.(1)由对折和图形的对称性可知,CD=C'D, ∠C=∠C'=90°,在矩形 ABCD 中,AB=CD,∠A =∠C=90°,∴AB=C'D,∠A=∠C',∵∠AGB= ∠C'GD,∴△ABG≌△C'DG(AAS),∴AG=C'G. (2)∵点 D 与点A 重合,得折痕 EN,∴DM = 4cm,NM=3cm,∵EN⊥AD,∴EN∥AB,由折叠 及平行线的性质可知∠END=∠NDC=∠NDE, ∴EN=ED,设EM=x,则ED=EN=x+3,由勾 股定理得ED2=EM2+DM2,即(x+3)2=x2+42, 解得x= 7 6 ,即EM= 7 6cm. 11.(1)∵四边形 ABCD 是矩形,∴AM∥DN. ∴∠KNM=∠1,∵∠1=70°,∴∠KNM=∠KMN =∠1=70°,∴∠MKN=40°. (2)不能.理由:过 M 点作 ME ⊥DN,垂 足 为 E,则 ME =AD =1, ∵∠KNM= ∠KMN,∴MK =NK,又 ∵MK ≥ ME,∴NK≥1,∴△MNK 的面积= 1 2NK ·ME≥ 1 2 ,∴△MNK 的面积不可能小于 1 2. (3)分两种情 况:情况一:将矩形纸片对折,使点B 与D 重合,此时 点K 也与D 重合,MK=MB=x,则AM=5-x,由 勾股定理得12+(5-x)2=x2,解得x=2.6,∴MD 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 �