第一章 专题拓展3 特殊平行四边形中的动态问题-2021-2022学年九年级上册初三数学同步课时培优作业（北师大版）

=ND=2.6,S△MNK =S△MND = 1×2.6 2 =1.3 ;情况 二:将矩形纸片沿对角线 AC 对折,此时折痕即为 AC,MK=AK=CK=x,则 DK=5-x,同理可得 MK=NK=2.6,∵MD=1,∴S△MNK= 1×2.6 2 =1.3. ∴△MNK 的面积最大值为1.3. 12.(1)∵四边形ABCD 和四边形AEFG 都为正 方形,∴AD=AB,∠DAG=∠BAE=90°,AG= AE,∴ △ADG ≌ △ABE (SAS),∴ ∠AGD = ∠AEB,延 长 EB 交 DG 于 点 H,在 △ADG 中, ∠AGD + ∠ADG =90°,∵ ∠AEB + ∠ADG + ∠DHE=180°,∴ ∠DHE =90°,∴DG⊥BE. (2)∵四边形 ABCD 和四边形AEFG 都为正方形, ∴AD=AB,∠DAB = ∠GAE =90°,AG =AE, ∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG,即∠DAG= ∠BAE,∴△ADG≌△ABE(SAS),∴DG=BE,过 点A 作AM⊥DG 交DG 于点M,∠AMD=∠AMG =90°,∵BD 为正方形ABCD 的对角线,∴∠MDA =45°,在Rt△AMD 中,AD=2,∴DM=AM= 2, 在 Rt△AMG 中,根 据 勾 股 定 理 得:GM = AG2-AM2= 6,∵DG=DM+GM= 2+ 6, ∴BE=DG= 2+ 6. (3)△GHE和△BHD 面积 之和的最大值为6,理由为:当点 H 与点A 重合时, △EGH 的高最大;当点 H 与点A 重合时,△BDH 的高最大,则△GHE 和△BHD 面积之和的最大值 为2+4=6. 专题拓展3 特殊平行四边形中的 动态问题 典型例题 例1 3 变式训练1 C 例2 (1)设运动时间为t,由题意得:AE=CF=t, ∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AO=CO,BO= DO,∴EO=FO,∴四边形 DEBF 是平行四边形. (2)∵AO=CO= 1 2AC=8cm ,BO=DO= 1 2BD= 6cm,∴①当OE=OB 时,即AO-AE=BO 时,8- t=6,此时t=2;②当OF=OB 时,即t-8=6,此时t =14,∴当t=2s或14s时,四边形DEBF 是矩形. 变式训练2 2秒或12秒 例3 (1)证明:∵OD 平分∠AOC,OF 平分∠COB, ∴∠AOC=2∠COD,∠COB=2∠COF,∵∠AOC+ ∠BOC =180°,∴2∠COD +2∠COF =180°, ∴∠COD+∠COF=90°,∴∠DOF=90°;∵OA= OC,OD 平 分 ∠AOC,∴OD ⊥AC,AD =DC, ∴∠CDO=90°,∵CF⊥OF,∴∠CFO=90°,∴四边 形CDOF 是矩形. (2)当∠AOC=90°时,四边形 CDOF 是正方形.理由如下:∵∠AOC=90°,AD= DC,∴OD=DC,又由(1)知四边形CDOF 是矩形, 则四边形CDOF 是正方形;∴当∠AOC=90°时,四 边形CDOF 是正方形. 变式训练3 15° 例4 解:(1)依题意,AP=2tcm,AQ=(6-t)cm,0 ≤t≤6. 当AQ=AP 时,△QAP 为等腰直角三角形,则 6-t=2t,解得t=2. ∴当t=2时,△QAP 为等腰直角三角形. (2)在△QAC 中,AQ 边上的高DC=12cm, ∴S△QAC= 1 2AQ ·DC= 1 2 × (6-t)×12= 6(6-t)(cm2). 在△APC 中,AP 边上的高BC=6cm, ∴S△APC= 1 2AP ·BC= 1 2×2t×6=6t (cm2). ∴S四边形QAPC=S△QAC+S△APC=6(6-t)+6t=6 ×(6-2)+6×2=36(cm2). 经探索可得如下结论:当P、Q 两点移动时,四边 形QAPC 的面积始终不变,总是36cm2,并且P、Q 两点到AC 的距离之和不变. 变式训练4 如图,连接 MC.设ts后 四边 形 MBCN 的 面 积 是39cm2,则 AM=3tcm,CN=2tcm. ∴BM=(16-3t)cm. ∴S四边形MBCN=S△MBC+S△MNC= 1 2BM ·CB+ 1 2CN ·CB= 1 2 (CN+ BM)·CB=39cm2, 即 1 2 (2t+16-3t)×6=39. 解得t=3. ∴3s后四边形 MBCN 的面积是39cm2. 巩固练习 1.B 2.B 3.A 4.A 5.6 6.120° 7.2cm 8.6-25≤BP≤4 9.(1)∠EAF 的大小没有变化.根据题意,知AB =AH,∠B=90°,又∵AH⊥EF,∴∠AHE=90°, ∴Rt△BAE≌Rt△HAE,∴∠BAE=∠HAE,同 理,