第2章第6节幂函数与二次函数 课件-山东省滕州市第一中学2022届高考数学一轮复习

第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.4　幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数　　 　叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. y＝xα 讲课人：邢启强 ‹#› 幂函数图象的特点 (1)幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性； (2)幂函数的图象最多只能出现在两个象限内； (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 2．幂函数y＝xα的图象，在第一象限内 直线 x＝1 的右侧，图象由下至上，指数α___________； y 轴和直线 x＝1 之间，图象由上至下，指数α________． 由小到大 由小到大 讲课人：邢启强 ‹#› 3常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 　 y＝ y＝x－1 图象           性 质 定义域 R R R _______ _______ 值域 R _______ R _______ _______ {x|x≥0} {x|x≠0} {y|y≥0} {y|y≥0} {y|y≠0} 性 质 奇偶性 函数 函数 函数 　　函数 　函数 单调性 在R上单调递增 在_______上单调递减；在__ _ 上单调递增 在R上单调递增 在　　　　上单调递增 在_________和_________上单调递减 公共点 _____ (－∞,,0] (0,＋∞) 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 [0,＋∞) (－∞,0) (0,＋∞) (1,1) 讲课人：邢启强 ‹#› 例1　(1)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为( ) A.－1<m<0<n<1 B.－1<n<0<m< C.－1<m<0<n< D.－1<n<0<m<1 D 解析　幂函数y＝xα， 当α>0时，y＝xα在(0,＋∞)上单调递增， 且0<α<1时,图象上凸,∴0<m<1. 当α<0时,y＝xα在(0，＋∞)上单调递减. 不妨令x＝2,由图象得2－1<2n,则－1<n<0. 综上可知，－1<n<0<m<1. (2)已知幂函数f(x)＝ (n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,＋∞)上单调递减，则n的值为( ) A.－3 B.1 C.2 D.1或2 B 解析　由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3， 经检验只有n＝1符合题意，故选B. 讲课人：邢启强 ‹#› D A (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 跟踪训练 (1)(2020·衡水中学调研)已知点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝),b＝f(ln π),c＝则a,b,c的大小关系是 A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.b<a<c A 讲课人：邢启强 ‹#› 1．若f(x)既是幂函数又是二次函数，则f(x)是 (　　) A.f(x)＝x2－1 B.f(x)＝5x2 C.f(x)＝－x2 D.f(x)＝x2 D A 2.设α∈,则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为 (　　) A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3 3.幂函数y＝ (m∈Z)的图象如图所示，则实数m的值为 A.3 B.0 C.1 D.2 C 解析　∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3. ∵m∈Z，∴m＝0,1,2.而当m＝0或2时，f(x)＝x－3为奇函数， 当m＝1时，f(x)＝x－4为偶函数.∴m＝1. 巩固练习 讲课人：邢启强 ‹#› 4.图中给出 4 个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( ) B 讲课人：邢启强 ‹#› 例2: (1)下列各不等式中正确的是( ） D B 幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查 (1)α的正负:α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升; α<0时，图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立． (2)曲线在第一象限的凹凸性: α>1时,曲线下凸;0<α<1时,曲线上凸；α<0时，曲线下凸． 讲课人：邢启强 ‹#