1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册）

高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册) 1．4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 【考点梳理】 考点一：空间中点、直线和平面的向量表示 1.空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量称为点P的位置向量．来表示．我们把向量 2.空间中直线的向量表示式 直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ＋ta，①＝ 把＝a代入①式得 ，②＋t＝ ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 3.空间中平面的向量表示式 平面ABC的向量表示式：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使.我们称为空间平面ABC的向量表示式．＋y＋x＝ 考点二　空间中平面的法向量 平面的法向量 如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}． 考点三：　空间中直线、平面的平行 1.线线平行的向量表示 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则 l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 2.线面平行的向量表示 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则 l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 面面平行的向量表示 设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则 α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 考点四：空间中直线、平面的垂直 1.线线垂直的向量表示 设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则 l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 2.　线面垂直的向量表示 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 知识点三　面面垂直的向量表示 设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则 α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 【题型归纳】 题型一：平面的法向量的求法 1．若直线l的方向向量为 （1,0,2），平面 的法向量为 ，则（ ） A． B． C． 或 D．l与 斜交 2．如图，在正方体ABCD­ 中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为B 的中点，F为 的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是 A．(1，－2，4) B．(－4,1，－2) C．(2，－2，1) D．(1，2，－2) 3．如图，在单位正方体 中，以 为原点， ， ， 为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面 的法向量是（ ） A． ，1， B． ，1， C． ， ， D． ，1， 题型二：空间中点、直线和平面的向量表示 4．已知平面 内两向量 ， ，若 为平面 的法向量且 ，则 ， 的值分别为（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 5．已知在正方体 中， ， 为空间任意两点，如果 ，那么点 必（ ） A．在平面 内 B．在平面 内 C．在平面 内 D．在平面 内 6．已知光线沿向量 （ ， ， ）照射，遇到直线 后反射，其中 是直线 的一个方向向量， 是直线 的一个法向量，则反射光线的方向向量一定可以表示为 A． B． C． D． 题型三：空间中直线、平面的平行 7．已知 ＝(2，4，5)， ＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则（ ） A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝ C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝ 8．设平面 的一个法向量为 ＝(1，2，－2)，平面 的一个法向量为 ＝(－2，－4，k)，若 ，则k＝（ ） A．-5 B．-4 C．－2 D．4 9．如图，在正方体AC1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是（ ） A．异面直线 B．平行直线 C．垂直不相交 D．垂直且相交 题型四：空间中直线、平面的垂直 10．已知平面α的法向量为 =（1，2，-2），平面β的法向量为 =（-2，-4，k），若α⊥β，则k等于（ ） A．4 B．-4 C．5 D．-5 11．已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为a＝(3λ＋1，0，2λ)，b＝(1，λ－1，λ)，若l1⊥l2，则λ的值为（ ） A．1或－ B．1或 C．－1或 D．－1或－ 12．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形， ， ，则PA与底面ABCD的关系是（ ） A．相交 B．垂直 C．不垂直 D．成60°角 【双基达标】 一、单选题 13．若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则（ ）． A． B． C． D．