第七章 立体几何与空间向量 章节检测（提高卷）-2022年高考数学一轮复习章节诊断卷（新高考专版）

第七章 立体几何与空间向量 章节检测（提高卷） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2020·广东揭阳市·高二期中）如图所示，分别是四面体的边的中点，是线段的一个三等分点（靠近点），设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图所示，连接, ∵，， 所以，，， ∴ . 故选：C. 2．（2020·广东揭阳市·高三期中（文））已知矩形的顶点都在球的球面上，且，则棱锥的体积为，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解:画出图象，如下图所示，设矩形的外接圆圆心为， 所以平面， 因为棱锥的体积为， 所以，解得， 圆直径为，所以， 在中，求得球的半径为， 所以表面积为. 故选：B 3．（2022·贵州贵阳市·高三开学考试（文））古希腊数学家帕普斯在《数学汇编》第3卷中记载着一个定理：“如果同一个平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形的面积乘以重心前旋转所得周长”.如图，半圆的直径cm，点是该半圆弧的中点，半圆弧与直径所围成的半圆面（不含边界）的重心位于对称轴上.则运用帕普斯的上述定理可以求出（ ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】C 【详解】 取直线为旋转轴，设， 由帕普斯得定理知，又, 所以，即， 故选：C． 4．（2021·四川省大竹中学（理））如图，在平行六面体中，，，则（ ） A．1 B． C．9 D．3 【答案】D 【详解】 在平行六面体中， 有，， 由题知，，，，， 所以，，与的夹角为， 与的夹角为，与的夹角为， 所以 . 所以. 故选：D. 5．（2021·浙江温州市·温州中学高一期中）已知正四面体中，，分别为棱，的中点，为棱上（含端点）的动点，则异面直线和所成角的余弦值的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 不妨设正四面体ABCD的棱长为2，设BP=x(0≤m≤2)，过C作CH∥MP，连接HN，可得∠HCN(或补角)为异面直线MP、CN所成角. 由PM为△BCH的中位线得到CH=2MP，即 ，, 所以， 令，则， 所以， 当，即时，取得最大值. 故选：D 6．（2021·北京顺义区·高一期末）如图，在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点在线段上运动，包括线段两端点）.则下面说法中正确的有（　　） ①对任意的点，是等腰三角形； ②存在点，使得平面； ③对任意的点，的面积都不大于； ④对任意的点，的面积都不等于. A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【详解】 对于①中，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，，，，，，， 因为点在上，设， 由，可得，得，，， 所以， 可得， 所以， ， 所以，即，所以①正确. 对于②：当点为平面与直线的交点时，可得平面，所以②正确； 对于③中，由①可知是等腰三角形，所以与的面积成正比关系， 在中，当点与重合时，此时最大，的面积最大， 最大值为的面积，所以③正确； 对于④中，由的最小值即为点到直线的距离，设点到直线的距离为， 可得，可得， 所以的最小值为，此时的面积最小， 最小值为，所以④错误. 故选：A. 7．（2021·长岭县第三中学高一月考）如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点，现将沿折起，使平面平面，在平面内过点作，为垂足.设，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 在平面内，作，垂足为，连结， 因为平面平面，，平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 设，在中，，， 又，即，所以， 所以， 在中，，又, 所以在中，， 因为函数在单调递减，所以， 所以. 故选：C 8．（2021·浙江省杭州第二中学高三其他模拟）已知正三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为，为的中点，为中点，是的动点，是平面上的动点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为为上的动点，为平面上的动点，且两者的运动无关，所以采用一定一动的原则， 先固定，当在动的时候，显然，当平面时，取最小值， 为了确定垂直状态在哪里，具体给出下图： 作分别交、于点、，连接， 当点在上且时，平面， 以下证明此时平面， ，为的中点，则，同理可知，， ，平面， 所以，，所以，平面， 此时，再将平面绕着转动，使得、、、四点共面， 此时，释放点，当点在运动过程中，、、三点共线时， ， 已经找到最小状态，易知，， ，平面，则平面，则平面， 平面，，故，则， ，，则，则为等腰直角三角形， 故，， 因为.