1.2常用逻辑用语 1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定（知识梳理+题型归纳） -2021-2022学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 常用逻辑用语 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 知识梳理.命题的否定 1.命题的否定 （1）命题的否定：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p ”，读作“非p”或“p的否定”． （2）命题的真假与命题的否定的真假：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题；反之亦然． （3）常见的命题的否定形式有： 原语句 是 都是 > 至少有一个 至多有一个 否定形式 不是 不都是 ≤ 一个也没有 至少有两个 2.全称量词命题与存在量词命题的否定 （1）全称量词的否定：全称量词命题p：∀x∈M，q(x)。它的否定﹁p：∃x∈M，¬q(x)。 （2）存在量词的否定：存在量词命题p：∃x∈M，p(x)。它的否定﹁p：∀x∈M，¬p(x)。 （3）结论：全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题。 （4）全称量词命题与存在量词命题的否定判断真假： ①要否定全称量词命题“∀x∈M，q(x)”，只需在M中找到一个x，使得q(x)不成立，也就是命题“∃x∈M，¬q(x)”成立． ②要否定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是命题“∀x∈M，¬p(x)”成立． 【例】写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：y＝sin x是周期函数； (2)p：实数的绝对值都大于0； (3)p：菱形的对角线垂直平分； (4)p：若xy＝0，则x＝0或y＝0. 【答案】 见解析 【解析】 (1) ¬p ：y＝sin x不是周期函数．假命题． (2) ¬p：实数的绝对值不都大于零．真命题． (3) ¬p：菱形的对角线不垂直或不平分．假命题． (4) ¬p：若xy＝0，则x≠0且y≠0. 假命题． 题型一.命题的否定 1．命题“对任意x∈R，都有x2+2x+3＞0”的否定为（　　） A．存在x∈R，使得x2+2x+3≤0 B．对任意x∈R，都有x2+2x+3≤0 C．存在x∈R，使得x2+2x+3＞0 D．不存在x∈R，使得x2+2x+3≤0 【答案】A． 【解析】解：根据全称命题的否定为存在性命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2+2x+3＞0”的否定为“存在x∈R，使得x2+2x+3≤0”． 故选：A． 2．命题：∃n∈N，n2＞3n+5，则该命题的否定为（　　） A．∀n∈N，n2＞3n+5 B．∀n∈N，n2≤3n+5 C．∃n∈N，n2≤3n+5 D．∃n∈N，n2＜3n+5 【答案】B． 【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：∃n∈N，n2＞3n+5，则该命题的否定为：∀n∈N，n2≤3n+5． 故选：B． 3．下列命题的否定是真命题的是（　　） A．∀x∈R，x2﹣2x+2≥0 B．所有的菱形都是平行四边形 C．∃x∈R，|x﹣1|＜0 D．∃x∈R，使得x3+64＝0 【答案】C． 【解析】解：∵x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1≥1，故∀x∈R，x2﹣2x+2≥0为真命题，其否定为假命题； 根据菱形是四边相等的平行四边形，可得所有的菱形都是平行四边形为真命题，其否定为假命题； 绝对值具有非负性，即∀x∈R，|x﹣1|≥0，即C的否定是真命题 当x＝﹣4时x3+64＝0，即∃x∈R，使得x3+64＝0为真命题，其否定为假命题； 故选：C． 题型二.利用命题的否定求参 1．若命题“∃x∈R，使得x2﹣（a+1）x+4≤0”为假命题，则实数a的取值范围为　（﹣5，3）　． 【答案】（﹣5，3）． 【解析】解：命题“∃x∈R，使得x2﹣（a+1）x+4≤0”为假命题， 即命题“∀x∈R，使得x2﹣（a+1）x+4＞0”为真命题， 则判别式△＝（a+1）2﹣4×4＜0， 即△＝（a+1）2＜16， 则﹣4＜a+1＜4， 即﹣5＜a＜3， 故答案为：（﹣5，3）． 2．“若∃x∈（1，2），x2+mx+4≥0”是假命题，则m的取值范围为　（﹣∞，﹣5]　． 【答案】（﹣∞，﹣5] 【解析】解：∵命题“∃x∈（1，2）时，满足不等式x2+mx+4≥0”是假命题， ∴命题“∀x∈（1，2）时，满足不等式x2+mx+4＜0”是真命题， ∴在（1，2）上恒成立 令，x∈（1，2） ∵ ∴f（x）＜f（1）＝5， ∴﹣m≥5， ∴m≤﹣5． 故答案为：（﹣∞，﹣5] 3．已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x∈R，x2﹣2ax+4＝0．若命题p和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是　（﹣∞，﹣2]　． 【答案】（﹣∞，﹣2]． 【解析】解：因为∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，则有a≤x2对∀x∈[1，2]恒成立， 所以a≤（x2）mi