江西省新余市第四中学2021-2022学年高二上学期开学考试数学试题

新余四中高二年级上学期开学考试数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（每题5分，满分60分） 1．已知全集，集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．（ ） A． B． C． D． 3．已知向量，．若，则实数（ ） A．2或 B．2 C．0 D． 4．平面上三条直线，若这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k可能的取值情况是（ ） A．只有唯一值 B．有两个不同值 C．有三个不同值 D．无穷多个值 5．实数满足不等式组，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．小雨利用几何画板探究函数图象，在他输入一组的值之后，得到了如图所示的函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小雨输入的参数值满足（ ） A． B． C． D． 7．若存在正数，使成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A．的最小正周期为 B．图象的一条对称轴方程为 C．的单调递增区间为 D．的单调递减区间为 9．《九章算术》中记载，堑堵是指底面为直角三角形的直三棱柱，阳马是指底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如图，在堑堵中，，=3，当阳马的体积为8时，堑堵的外接球表面积的最小值是（ ） A． B． C． D． 10．已知数列的首项为，，且，若数列单调递增，则的取值范围为（ ） A．1< a < 3 B． C． D． 11. 已知为等腰三角形，顶角A为，腰长为2，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 12．已知，，，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每题5分，满分20分） 13. 已知函数，若在区间上任意取一个数t，则在上为单调函数的概率为__________． 14．已知函数（），若的图像在上与x轴恰有两个交点，则的取值范围是___________. 15. 已知a，b为正实数，且a + b + ab = 3,则2a + b的最小值为__________. 16．设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则的取值范围是__________. 三、解答题（第17题满分10分，第18~22题每题满分12分，共计70分） 17．已知是等差数列，是等比数列，且，，，成等比数列，，． （1）求的通项公式和的前项和及的最小值； （2）求和：． 18．在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边,若b=3,c=4,C=2B,且. (1)求cos B及a的值； (2)求的值. 19．如图，在三棱柱中，，，，在底面ABC的射影为BC的中点，D是的中点． 1证明：平面； 2求直线和平面所成的角的正弦值． 20．为开学生视野，丰富学生的数学学习方式，某高校数学学院学生会创办了微信公众号《数学乐园》，设定了“数学史料”“趣题妙解”等栏目，定期发布文章．为了扩大微信公众号的影响力，后台统计了反映读者阅读情况的一些数据，其中阅读跳转率f(x)记录了在阅读某文章的所有读者中，阅读至该篇文章总量的x%时退出该页面的读者占阅读此文章所有读者的百分比．例如：阅读跳转率f（20）＝5%表示阅读某篇文章的所有读者中，阅读量至该篇文章总量的20%时退出该页面的读者占阅读此篇文章的所有读者的5%．现从“数学史料”“趣题妙解”专栏中各随机选取一篇文章．分别记为篇目A，B，其阅读跳转率的折线图如图所示．用频率来估计概率． （1）随机选取一名篇目A的读者，估计他退出页面时阅读量大于文章总量的80%的概率； （2）现用比例分配的分层随机抽样的方法，在阅读量没有达到30%的篇目B的读者中抽取6人，任选其中2人进行访谈，求这两人退出页面时阅读量都为文章总量的10%的概率； （3）请依据图中的数据，比较篇目A和篇目B的阅读情况，写出一个结论，并选择其中一个栏目提出你的优化建议． 21．已知点在圆：上运动，点． （1）若点是线段的中点，求点的轨迹的方程； （2）过原点且不与轴重合的直线与曲线交于，两点，是否为定值？若是定值，求出该值；否则，请说明理由． 22． 对于函数，若存在定义域中的实数a，b满足且，则称函数为“M类”函数． 试判断，是否是“M类”函数，并说明理由； 试判断，是否是“M类”函数，并说明理由； 若函数，，为“M类”函数，求n的最小值． 新余四中高二年级上学期开学考试数学试卷（B卷）参考答案 1~12. A D D C D B C D B C B A 10．【详解】当时，，因此有， 得：，说明该数列从第2项起，偶数项和奇数项都成等差数列，且它们的公差都是2，由可得