专题6 用空间向量研究距离、夹角问题-2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A版2019选择性必修第一册）

2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A版2019选择性必修一） 专题6 用空间向量研究距离、夹角问题 题型一 异面直线夹角的向量求法 1．已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E是BC的中点，则直线A′C与DE所成角的余弦值为________． 【答案】 【解析】如图所示，建立空间直角坐标系， 则A′(0，0，a)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，E，＝(a，a，－a)，＝， 所以. 所以直线A′C与DE所成角的余弦值为. 故答案为： 2．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，已知AB∥DC，AB⊥AD，△SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AD＝AB＝2DC＝2，F为SB的中点 （1）求异面直线SA与FC所成角的大小； （2）在棱SB上是否存在点Q，使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为？若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）90°；（2）存在，1． 【解析】解：（1）∵在四棱锥S﹣ABCD中，已知AB∥DC，AB⊥AD，△SAD是正三角形， 平面SAD⊥平面ABCD，AD＝AB＝2DC＝2，F为SB的中点， ∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），S（0，1，），C（1，2，0），B（2，0，0），F（1，）， （0，﹣1，），（0，，）， 设异面直线SA与FC所成角为θ（0°＜θ≤90°）， 则cosθ0，∴θ＝90°． ∴异面直线SA与FC所成角的大小为90°； （2）假设在棱SB上存在点Q（a，b，c），λ，(0≤λ≤1)，使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为， 则，即（a，b﹣1，c）＝λ（2，﹣1，），解得a＝2λ，b＝1﹣λ，c， ∴Q（2λ，1﹣λ，），（2λ，1﹣λ，），（1，2，0），（0，1，）， 设平面ACQ的法向量(x，y，z）， 则，取x＝2，得， 设平面ASC的法向量(p，q，r）， 则，取p＝2，得=(2，﹣1，）， ∵平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为， ∴， 整理得5λ2﹣10λ+4＝0，解得λ或（舍去）． 故在棱SB上存在点Q，使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为，此时． 3．如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点． （1）求BN的长； （2）求A1B与B1C所成角的余弦值； 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）如图所示，建立空间直角坐标系C­xyz.依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)， ∴||＝＝，∴线段BN的长为. （2）依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，∴＝(1，－1，2)， ＝(0，1，2)，∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又||＝，||＝. ∴cos〈〉＝＝. 故A1B与B1C所成角的余弦值为. 4．如图，在三棱锥V­ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝ ，求异面直线AC与VD所成角的余弦值． 【答案】. 【解析】∵AC＝BC＝2，D是AB的中点， ∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)． 在Rt△VCD中，，故． ∴，． ∴. ∴异面直线AC与VD所成角的余弦值为. 题型二 线面角的向量求法 5．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，点E为PB的中点，且CD＝2AD＝2AB＝4，点F在CD上，且． （Ⅰ）求证：EF∥平面PAD； （Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD且PA⊥PD，求直线PA与平面PBF所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）． 【解析】解：（Ⅰ）证明：取PA的中点，连接DM，EM，在△PAB中，ME为一条中位线，则，， 又由题意有，，，故，， ∴四边形DFEM为平行四边形，∴EF∥DM， 又EF⊄平面PAD，DM⊂平面PAD， ∴EF∥平面PAD； （Ⅱ）取AD中点N，BC中点H，连接PN，NH， 由平面PAD⊥平面ABCD，且PN⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，可知PN⊥平面ABCD， 又AD⊥NH， 故以N为原点，NA，NH，NP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设平面PBF的一个法向量为，则，可取， 又，故， ∴直线PA与平面PBF所成角的正弦值为． 6．如图，在正三棱柱ABC­-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值． 【答案】. 【解析】如图，在正三棱柱ABC-­A