专题5 空间向量的应用-2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A版2019选择性必修第一册）

2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A版2019选择性必修一） 专题5 空间向量研究直线、平面的 题型一 空间中点、直线和平面的向量表示 1．在菱形中，若是平面的法向量，则以下结论中可能不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵是平面的法向量，∴平面，平面，平面，,, A和D显然成立， 同理， 又∵四边形为菱形，，∴平面，∴，故选项C成立，不正确的只有选项B. 故选：B. 2．平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（ ） A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直 【答案】C 【解析】平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,， ， 平面与平面的关系是平行或重合． 故选：C． 3．已知平面α内有一点A(2，－1,2)，它的一个法向量为，则下列点P中，在平面α内的是（　　） A．(1，－1,1) B．(1,3，) C．(1，－3，) D．(－1,3，－) 【答案】B 【解析】对于选项A，，则，故排除A； 对于选项B，，则 对于选项C，，则，故排除C； 对于选项D，，则，故排除D； 故选:B 4．已知平面α和平面β的法向量分别为，且α⊥β，则x＝________. 【答案】 【解析】 故答案为： 5．四边形是直角梯形，，平面，，.在如图所示的坐标系中，分别求平面和平面的一个法向量． 【答案】答案不唯一（只要垂直于所求平面的非零向量即为该面的法向量）. 【解析】，，，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 即平面的一个法向量为； 平面轴，即为平面的一个法向量. 题型二 空间中直线、平面的平行 6．如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，平面平面 （1）求证：； （2）若M为中点，求证：平面； 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1） 在直三棱柱中， 平面ABC，又 平面ABC， ∴， ∵平面平面,且平面平面， 又 平面, ∴平面， 又平面，∴ （2）直三棱柱中， ∵平面，而平面 ∴， 又， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面 的一个法向量为， 则，即， 令，则， ∵M为的中点，则，所以， 因为，所以，又 平面，∴平面. 7．在正四棱柱中，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】如图建立空间直角坐标系， ，，，，，，， ，. （1）证明：设平面的法向量， ，， 由，即， 取，得， 又， 因为，所以，且平面, 所以平面． （2）证明：由（1）可知， ，，所以， 所以平面． 8．如图，在长方体中，点E，F，G分别在棱，，上，；点P，Q，R分别在棱，CD，CB上，．求证：平面平面PQR． 【答案】证明见解析 【解析】构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，如下图示， 设，又，， ∴，，，，，， ∴，，，， 设是面的一个法向量，则，令，， 设是面的一个法向量，则，令，， ∴面、面的法向量共线，故平面平面PQR，得证. 9．如图，在正方体中，E，F分别是面，面的中心．求证：平面． 【答案】证明见解析 【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则可得， ，， 平面，平面. 10．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，E为CD的中点连接AE交BD于G，点F在侧棱PD上，且DFPD． （1）求证：PB∥平面AEF； （2）若，求三棱锥E﹣PAD的体积． 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】（1）证明：四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，与交于点，平面， 为的中点连接交于，点在侧棱上，且， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，取，得， ，平面， 平面； （2）解：，， ，， 由，解得，， 三棱锥的体积： ． 题型三 空间中直线、平面的垂直 11．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB.求证：平面BCE⊥平面CDE. 【答案】证明见解析 【解析】设AD＝DE＝2AB＝2a， 以A为原点，分别以AC，AB所在直线为x轴，z轴，以过点A在平面内垂直于AC的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，a，0)， E(a，a，2a)． 所以＝(a，a，a)，＝(2a，0，－a)，＝(－a，a，0)，＝(0，0，－2a)． 设平面BCE的法向量为＝(x1，y1，z1)，由＝0，＝0可得 即令z