专题11 函数的单调性与最大（小）值-2021-2022学年高一数学题型解读与训练（人教A版2019必修第一册）

2021-2022学年高一数学题型解读与训练（人教A版2019） 专题11 函数的单调性与最大（小）值 题型一 函数单调性的判断（证明）和单调区间的求解 1．已知函数的定义域为,对任意的 都有且则的解集为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意,, 因为且所以函数是上的增函数. , 因为,所以, 则,解得. 故选:A. 2．已知函数f(x)的定义域为I，如果对属于I内某个区间上的任意两个不同的自变量的值都有>0，那么(　　) A．在这个区间上为增函数 B．在这个区间上为减函数 C．在这个区间上的增减性不定 D．在这个区间上为常函数 【答案】A 【解析】函数f(x)对属于定义域I内某个区间上的任意两个不同的自变量的值x1，x2都有>0，等价于,也就是当时, ;当时, ;即函数f(x)在这个区间上为增函数,故选A. 3．如图是定义在区间上的函数的图象，则下列关于函数的说法错误的是(　　)　　 A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递增 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上没有单调性 【答案】C 【解析】由图象可知，函数在[-5，-3]和[1，4]两个区间单调递增，则A、B选项是正确的； 又因为函数在[-3，1]和[4，5]两个区间上分别单调递减， 但在区间[-3，1]∪[4，5]上没有单调性，则C选项错误； 观察函数图象可知函数在[-5，5]上没有单调性，则D选项正确. 故选C. 4．求函数的单调递增区间________. 【答案】和 【解析】， 作出函数图象如图所示. 函数的单调递增区间是和. 故答案为:和. 5．利用函数单调性的定义，证明函数在区间[0，+∞）上是增函数． 【答案】见解析 【解析】设，化简可得，从而得到函数在区间上为增函数 设，由于，由题设可得，故有，即，所以函数在区间上是增函数． 6．已知函数，其中是非零实数，.求的单调区间. 【答案】当时，在，上递增，在，递减；当时，在，上单调递减. 【解析】函数的定义域为， 当时，为对勾函数.在单调递增， 在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增. 当时，，在，上单调递减. 当时，，在，上单调递减. 故当时，在，上递增， 在，递减； 当时，在，上单调递减. 题型二 函数的最值及参数问题 7．设函数，，则函数的最小值为______；若，使得成立，则实数的取值范围是_________. 【答案】2 【解析】解：因为函数，， 易得函数在为减函数，在为增函数，所以， 即函数的最小值为, 又，使得成立，则，即， 解得：或，即实数的取值范围是或， 故答案为(1). 2 (2). 8．已知函数f（x）＝，x∈[1，＋∞)． （1）当a＝时，求函数f（x）的最小值； （2）若对任意x∈[1，＋∞)，f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2）(－3，＋∞). 【解析】（1）当a＝时，， 设1≤x1＜x2，则， ∵1≤x1＜x2， ∴2x1x2＞2，2x1x2-1>0，>0， ∴， ∴f（x）在区间[1，＋∞)上为增函数， ∴f（x）在区间[1，＋∞)上的最小值为f（1）＝， （2）在区间[1，＋∞)上f（x）＞0恒成立⇔x2＋2x＋a＞0恒成立， 设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数， ∴当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a， 于是当且仅当ymin＝3＋a＞0时，函数f（x）＞0恒成立， 故a＞－3，实数a的取值范围为(－3，＋∞)． 9．已知二次函数. （1）若，求在区间上的值域； （2）求在区间上的最值； （3）若的在区间上无最值，求m的取值范围； 【答案】(1) ;(2)见解析(3) 或 【解析】(1)当时, ,对称轴为. 故在区间上单调递减. 故 . 故在区间上的值域为 (2) 对称轴为. ①当,即时, 在上单调递增. 故最小值为,最大值为 ②当,即时, 在上单调递减. 最小值为,最大值为 ③当即时,最小值为. (i)当即时,最大值为 (ii)当即时,最大值为. (3) 的在区间上无最值,故对称轴在区间外. 故或,解得或 题型三 复合函数的最值 10．设，，若，则的（ ） A．最小值为8 B．最大值为8 C．最小值为2 D．最大值为2 【答案】A 【解析】因为，，所以， 因为，所以，， 则， 故当时，最小，， 故选：A. 11．已知，，且，则的最大值是______． 【答案】 【解析】解：因为，，且，所以， ， 当时，取最小值， 所以取最大值， 故的最大值是. 故答案为：. 12．已知函数在区间，上的最大值为，当实数，变化时，最小值为__，当取到最小值时，__. 【答案】2