1.1集合 1.1.3集合的基本运算（知识梳理+题型归纳） -2021-2022学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合 1.1.3 集合的基本运算 知识梳理.集合的基本运算 1. 交集 （1）概念：一般地，给定两个集合A、B，由既属于集合A又属于集合B的所有元素(即A和B的公共元素)组成的集合，称为A与B的交集。 （2）符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}(读作“A交B”) （3）图形表示： 2.并集 （1）概念：一般地，给定两个集合A、B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为集合A与B的并集。 （2）符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}(读作“A并B”) （3）图形表示： （4）并集与交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A A∪A＝A A∩A＝A A∪∅＝A A∩∅＝∅ A⊆B⇔A∪B＝B A⊆B⇔A∩B＝A 3.全集 1．概念：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集． 2．记法：全集通常记作U． 3．全集并不是一个含有任何元素的集合，仅包含所研究问题中涉及的所有元素． 4.补集 （1）概念：如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作∁UA。 （2）符号语言：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} （3）图形表示： （4）补集的性质 ①∁UA⊆U，∁UU＝∅，∁U∅＝U． ②A∪(∁UA)＝U． ③A∩(∁UA)＝∅． ④∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A． ⑤(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)． ⑥(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)． 【例】设U＝R，已知集合A＝{x|－5<x<5}，B＝{x|0≤x<7}，求： (1)A∩B；(2)A∪B；(3)A∪(∁UB)；(4)B∩(∁UA)． 【答案】 (1) {x|0≤x<5} (2) {x|－5<x<7} (3) {x|x<5或x≥7} (4) {x|5≤x<7} 【解析】 (1)如图①所示．A∩B＝{x|0≤x<5}． (2)如图①所示．A∪B＝{x|－5<x<7}． (3)如图②所示．∁UB＝{x|x<0或x≥7}， ∴A∪(∁UB)＝{x|x<5或x≥7}． (4)如图③所示．∁UA＝{x|x≤－5或x≥5}， ∴B∩(∁UA)＝{x|5≤x<7}． 题型一. 集合的交、并、补混合运算 1．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1}，则∁U（A∩B）＝（　　） A．{﹣1} B．{0，1} C．{﹣1，2，3} D．{﹣1，0，1，3} 【答案】C． 【解析】解：∵U＝{﹣1，0，1，2，3}，A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1}， ∴A∩B＝{0，1}， ∴∁U（A∩B）＝{﹣1，2，3}． 故选：C． 2．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{3，4，5}，N＝{1，2，5}，则集合{1，2}可以表示为（　　） A．M∩N B．（∁UM）∩N C．M∩（∁UN） D．（∁UM）∩（∁UN） 【答案】B． 【解析】解：∵M＝{3，4，5}，N＝{1，2，5}， ∴M∩N＝{5}，（∁UM）∩N＝{1，2}， M∩（∁UN）＝{3，4}，（∁UM）∩（∁UN）＝∅， 故选：B． 3．已知集合M＝{x|x2﹣x＜0}，N＝{x|x＞1}，则（　　） A．M⊆N B．N⊆M C．M∪N＝R D．M∩N＝∅ 【答案】D． 【解析】解：因为集合M＝{x|x2﹣x＜0}＝（0，1），N＝{x|x＞1}，所以M∩N＝∅， 故选：D． 4．设集合A＝{﹣2，1，3}，B＝{x|x2﹣5x+m＝0}，A∩B＝{3}，则B＝（　　） A．{1，3} B．{2，3} C．{﹣1，﹣2，3} D．{3} 【答案】B． 【解析】解：∵A∩B＝{3}， ∴3∈B， ∴32﹣5×3+m＝0，解得m＝6， 解x2﹣5x+6＝0得，x＝2或3， ∴B＝{2，3}． 故选：B． 5．已知集合A＝{x|2|x﹣2|≤x}，B＝{x|x＜﹣1或x＞3}，则A∪B＝（　　） A．R B．（﹣∞，4） C．（﹣∞，﹣1）∪[，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） 【答案】C． 【解析】解：由2|x﹣2|≤x得，﹣x≤2（x﹣2）≤x； 解得； ∴； ∴． 故选：C． 6．已知集合，则A∩B＝（　　） A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0≤x＜1} 【答案】D． 【解析】解：集合， 解得：A＝{x|﹣1＜x＜1}， B＝{x|0≤x≤1}． 则A∩B＝{x|﹣1＜x＜1}∩{x|0≤x≤1}＝{x|0≤x＜1}； 故选：D．