第2章第3节函数的单调性与最值 课件-山东省滕州市第一中学2022届高考数学一轮复习

§2.2　函数的最值与值域 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 1 本节课大约40分钟量有些少 考纲要求 考纲研读 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义； 2.会运用函数图象理解和研究函数的单调性． 1.利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点． 2.利用函数的单调性求最值，及利用它们求参数取值范围问题是重点，也是难点． 3.题型以选择题和填空题为主，与导数交汇命题则会以解答 题的形式出现. 讲课人：邢启强 ‹#› 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有　　　　 ； (2)∃x0∈I，使得_________ (1)对于∀x∈I，都有 ； (2)∃x0∈I，使得________ 结论 M为最大值 M为最小值 f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M f(x0)＝M 函数的最值 讲课人：邢启强 ‹#› 抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值， 证明f(x)为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证．问题(3)用函数的单调性即可求最值． (1)解：令x1＝x2>0， 代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0. 所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)解∵f(x)在(0,＋∞)上是单调递减函数． 讲课人：邢启强 ‹#› 必备方法　求函数最值的五个常用方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值． (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值． (5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 易误提醒:在求函数的值域或最值时，易忽视定义域的限制性． 讲课人：邢启强 ‹#› 练习(2021·深圳模拟)函数y＝ 的最大值为____. 讲课人：邢启强 ‹#› 小结：解函数不等式问题的一般步骤： 第一步：确定函数f(x)在给定区间上的单调性； 第二步：将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式； 第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”， 转化成一般的不等式或不等式组； 第四步：解不等式或不等式组确定解集； 第五步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范． 讲课人：邢启强 ‹#› 例3　求下列函数的值域：(1)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)； 解　(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)， 再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6). 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞). 求函数值域的一般方法 (1)分离常数法；(2)配方法；(3)不等式法；(4)单调性法；(5)换元法； (6)数形结合法；(7)导数法. 讲课人：邢启强 ‹#› 解　函数的定义域为[1，＋∞)， 讲课人：邢启强 ‹#› B 2 当堂训练 C 讲课人：邢启强 ‹#› 6 B 讲课人：邢启强 ‹#› 解：因为x1+x2＝1, 所以f(x1)+f(0)>f(1－x1)+f(1)恒成立 即f(x1)－f(1－x1) >f(1)－f(0) 设g(x)=f(x)－f(1－x), 可得g(x1) >g(1)，g(x)是增函数,所以x1 >1 讲课人：邢启强 ‹#› 函数单调性应用问题的四种类型及解题策略 (1)比较大小:比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决. (2)解不等式:在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数． ①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． (4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值． 讲课人：邢启强 ‹#› 即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)． 由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))＝f(x1)－f(x2)得， f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,3)))＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2. 例1已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足feq \b\lc