§2 2．2 函数的表示法（课件PPT）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步导学案（北师大版）

北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 2．2　函数的表示法 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 课标要求 素养达成 1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点． 2．在实际问题中，能够选择恰当的表示法来表示函数． 3．了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象． 4．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题. 1.通过本节内容的学习，使学生学会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，提高学生的数学抽象和运算分析素养． 2．通过本节内容的学习，使学生了解分段函数的含义，提高学生的数学建模、数学运算素养. 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [教材提炼] 知识点一　函数的表示方法 知识梳理　 解析法 图象法 列表法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 用图象表示两个变量之间的对应关系 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 知识点二　函数三种表示法的比较 预习教材，思考问题 (1)所有的函数都能用解析法表示吗？ 提示：不能．解析法是利用代数方程y＝f(x)(x∈A)来表示函数的方法，通常f(x)是一个含有自变量的表达式，当无法用表达式表示y与x之间的关系时，函数不能用解析法表示． (2)函数解析式f(x)＝x＋1(x∈R)与f(t)＝t＋1(t∈R)表示相同的函数吗？ 提示：是相同的函数，对应关系和定义域都相同． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 知识梳理 表示方法 优点 缺点 解析法 (1)简明、全面地概括了变量间的关系，从“数”的方面揭示了函数关系； (2)可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值 不够形象、直观，而且并不是所有的函数都能用解析法表示出来 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 表示方法 优点 缺点 图象法 能形象直观地表示出函数的变化情况 只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大 列表法 不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 只能表示有限个数值之间的函数关系 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 知识点三　分段函数 知识梳理　在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着 的对应关系，这样的函数称为分段函数． 不同 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 题型一　求函数的解析式 [典例]　求下列各函数解析式． (1)已知f(x)＝x2，求f(2x＋1)； (2)已知f(－1)＝x＋2，求f(x)； (3)如果函数f(x)满足方程af(x)＋f ＝ax，x∈R且x≠0，a为常数，且a≠±1，求f(x)； (4)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，求f(x)． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [解析]　(1)(代入法)f(2x＋1)＝(2x＋1)2＝4x2＋4x＋1. (2)法一(配凑法)：f(－1)＝(－1)2＋4(－1)＋3，而－1≥－1， 故所求的函数f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)． 法二(换元法)：令t＝－1，则t≥－1，且＝t＋1， ∴f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)＝t2＋4t＋3. 故所求的函数f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 (3)(方程组法)∵af(x)＋f ＝ax，① 将x换成，则换成x，得af ＋f(x)＝，② ①×a－②，得(a2－1)f(x)＝a2x－. ∵a≠±1，∴f(x)＝， 即f(x)＝(x∈R且x≠0)． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 (4)(待定系数法)设f(x)＝kx＋b(k≠0)， 则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b， ∴k2x＋kb＋b＝16x－25. ∴∴或 ∴f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋. 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 求函数解析式的常用方法 (1)代入法：直接代入． (2)配凑法：已知f(g(x))的解析式，要求f(x)，可从f(g(x))的解析式中拼凑出“g(x)”，即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x代替即可． (3)换元法：在典例(2)中，也可令t＝g(x)，再求出f(t)的解析式，然后用x代替两边所有的t即可． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 (4)方程组法(又称“消去法”)：已知f(x)与f(φ(x))满足的关系式，要求f(x)时，可用φ(x)代替两边的所有的x，得到关于f(x)及f(φ(x))的方程组，解之即可求出f(x)． (5)待定系数法：若已知函