§4 4．1 第1课时 函数奇偶性的概念（课件PPT）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步导学案（北师大版）

北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 §4　函数的奇偶性与简单的幂函数 4．1　函数的奇偶性  第1课时　函数奇偶性的概念 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 课标要求 素养达成 1.理解奇函数、偶函数的定义． 2．了解奇函数、偶函数图象的特征． 3．掌握判断函数奇偶性的方法. 通过本节内容的学习，使学生学会利用图象理解和研究函数性质，提高学生的直观想象、逻辑推理素养. 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [教材提炼] 知识点一　偶函数与奇函数的定义 知识梳理　(1)偶函数： 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 (2)奇函数： 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 知识点二　奇偶性 预习教材，思考问题 (1)奇偶性定义中的“任意”可以省略吗？ 提示：不能省略．如函数y＝x2，x∈[－2,3]，有f(－2)＝4＝f(2)，f(－1)＝1＝f(1)，但不能因此就说函数y＝x2，x∈[－2,3]是偶函数，因为f(－3)是没有定义的． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 (2)函数具有奇偶性，其定义域有什么要求？ 提示：函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域关于原点对称，换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． (3)若奇函数f(x)在x＝0处有意义，那么f(0)等于多少？ 提示：f(0)＝0. 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 (4)能出现既是奇函数又是偶函数的函数吗？ 提示：既是奇函数，又是偶函数的函数为f(x)＝0，其定义域为关于原点对称的非空集合． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 知识梳理　如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们称函数f(x)具有奇偶性． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 知识点三　奇、偶函数的图象特征 预习教材，思考问题 (1)偶函数的图象一定与y轴相交吗？ 提示：一个函数为偶函数，其图象一定关于y轴对称，却不一定与y轴相交． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 (2)如何用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”“函数图象关于原点对称”这一特征？ 提示：若函数y＝f(x)对于定义域I：∀x∈I，都有－x∈I且f(－x)＝f(x)，则f(x)的图象关于y轴对称；都有f(－x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于原点对称． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 知识梳理　(1)奇函数的图象关于 图形；反之，如果一个函数的图象是 为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． (2)偶函数的图象 对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．  原点成中心对称 以坐标原点 关于y轴 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 题型一　判断函数的奇偶性 [典例]　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x4＋2x2＋3； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝(x－2)·； (4)f(x)＝＋； (5)f(x)＝ 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [解析]　(1)函数的定义域为R，关于原点对称． 又f(－x)＝(－x)4＋2(－x)2＋3＝x4＋2x2＋3＝f(x)， ∴函数f(x)＝x4＋2x2＋3是偶函数． (2)∵ ∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称． 此时f(x)＝＝， 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 又f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴f(x)＝为奇函数． (3)由题意，得 ∴－2≤x<2， 故f(x)的定义域为[－2,2)，不关于原点对称， ∴f(x)既不是奇函数又不是偶函数． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 (4)由 ∴x2＝1，∴x＝1或x＝－1， 此时f(x)＝0，既是奇函数，又是偶函数． (5)函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ①当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)3＋3(－x)2－1＝－x3＋3x2－1＝ －(x3－3x2＋1)＝－f(x)． ②当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1＝ －(x3＋3x2－1)＝－f(x)． 由①②知，当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，都有f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 1．定义法判断函数奇偶性的步骤 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 2．分