精品解析：武汉大学2020年强基计划数学试题

武汉大学2020年强基计划数学试题 考试科目：数学与逻辑 不定项选择题：共15小题，每题答案完全正确得满分；选对但不全得部分分；选错得0分. 1. 设圆的半径为3，其一条弦，为圆上任意一点，则的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 2. 设实数满足，则的最小值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 3. 过椭圆的中心作两条互相垂直的弦和，顺次连接得一四边形，则该四边形的面积可能为（ ） A 10 B. 12 C. 14 D. 16 4. 设的内角的对边分别为.若，则（ ） A B C. 的面积最大值为 D. 的周长最大值为 5. 设正整数使得关于的方程在区间内恰有个实根，则（ ） A. B. C. D. ，，成等差数列 6. 两个半径为实心球体，它们的球心相距.设包含这两个实心球体的最小实心球的体积为，则（ ） A. B. C. D. 7. 空间图形的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，延长圆的一条弦至，过点作圆的切线，，切点分别为，，为上一点，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 设A是集合的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（ ） A. 32 B. 56 C. 72 D. 84 10. 已知直线，动点在椭圆上，作交于点，作交于点.若为定值，则（ ） A. B. C. D. 11. 设函数则（ ） A. 当有极小值时， B 当有极大值时， C. 当连续时，的可能值有3个 D. 当有2极值点时，或 12. 圆周上有10个等分点，以这10个等分点的4个点为顶点构成四边形，其中梯形的个数为（ ） A. 10 B. 20 C. 40 D. 60 13. 设复数的实部和虚部都是整数，则（ ） A. 的实部都能被2 整除 B. 的实部都能被3 整除 C. 的实部都能被4 整除 D. 的实部都能被5 整除 14. 设是非零复数，它们的实部和虚部都是非负实数，则（ ） A. 最小值为 B. 没有最小值 C. 最大值为2 D. 没有最大值 15. 设函数，则下列错误的是（ ） A. 方程有解 B. 方程 在 内解的个数为偶数 C. 图像有对称轴 D. 的图像有对称中心 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 武汉大学2020年强基计划数学试题 考试科目：数学与逻辑 不定项选择题：共15小题，每题答案完全正确得满分；选对但不全得部分分；选错得0分. 1. 设圆的半径为3，其一条弦，为圆上任意一点，则的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】通过基底转化，将转化，其中，能够直接与求出数量积，能够求出与数量积的表达式，且可以判断范围，从而确定数量积的最大值 【详解】 将所求数量积进行转化得：，如上图所示，根据投影定理可得：，，为所成角，因为为圆上任意一点，所以时，取得最大值12，此时，则的最大值为4 故选：D 2. 设实数满足，则的最小值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，两边平方，设，则，代入平方表达式，再设，利用，解出即可． 【详解】解：设，则， ， ， ， ， ， 设， ， ，即，解得或（舍去）， 的最小值是， 故选：C． 3. 过椭圆的中心作两条互相垂直的弦和，顺次连接得一四边形，则该四边形的面积可能为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】设,，设x轴正方向旋转到与向量同向所转过的角为α，利用三角函数的定义表示的坐标，代入椭圆方程，求得关于α的函数表达式，进而得到关于α的函数表达式，利用三角函数恒定变形化简，然后利用三角函数的性质求得其取值范围，进而得到四边形面积的取值范围，从而做出选择. 【详解】设,，设x轴正方向旋转到与向量同向所转过的角为α， 并根据题意不妨设到为逆时针旋转, 则, ，, , , ， ∴,, 当时取到最小值，当时取得最大值. 只有选项B中的12在此范围内， 故选：B. 4. 设的内角的对边分别为.若，则（ ） A. B. C. 的面积最大值为 D. 的周长最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式以及基本不等式化简即可。 【详解】由 化简得： 因为 所以 故A正确 又由 当且仅当时取等号 三角形的周长 由余弦定理得 因为（当且仅当时取等号） 所以，，排除D 故选:AC 5. 设正整数使得关于方程在区间内恰有个实根，则（ ） A. B. C. D. ，，成等差数列 【答案】ABC 【解析】